問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\iint }_D\log xy}dxdy$ 　　 $\left(D:1\leqq x\leqq 2,1\leqq y\leqq 2\right)$

■ヒント

$\log x$ の積分の応用である

■答

$4\log 2-2$

■解説　

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle {\int }_1^2\log xy}}dxdy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{{\displaystyle {\int }_1^2\log xydx}\right\}}dy}$　　　　　

（${\displaystyle {\displaystyle \int \log x}dx}$の計算を参照） 

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{{\displaystyle {\int }_1^{2}1·\log xydx}\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{\left(2\log 2y-\log y\right)-{\left[x\right]}_1^2\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{{\left[x\log xy\right]}_1^2-{\displaystyle {\int }_1^{2}x·\frac{y}{xy}dx}\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{\log {\left(2y\right)}^2-\log y-\left(2-1\right)\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{\log \frac{4y^2}{y}-1\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left(\log 4y-1\right)}dy}$

${\displaystyle ={\left[y\log 4y\right]}_1^2-{\displaystyle {\int }_1^{2}y\frac{1}{y}}dy-{\left[y\right]}_1^2}$

${\displaystyle =2\log 8-\log 4-{\left[y\right]}_1^2-{\left[y\right]}_1^2}$

${\displaystyle =2\log 8-\log 4-1-1}$

${\displaystyle =\log 64-\log 4-2}$

${\displaystyle =\log 16-2}$

${\displaystyle =\log 2^4-2}$

${\displaystyle =4\log 2-2}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月4日

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