重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} e^{x} \sin y d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ π x)$

$\frac{e + 1}{1 + π^{2}} + e - 1$

領域 $D$ から変数 $x$ と変数 $y$ の積分範囲を決定する．

次に， $x$ を定数とみなして $y$ について積分し，その結果を更に $x$ で積分する．

$I = \int e^{x} \sin x d x$ や $I = \int e^{x} \cos x d x$ は部分積分を使う．

$\iint_{D} e^{x} \sin y d x d y$

$= \int_{0}^{1} (\int_{0}^{π x} e^{x} \sin y d y) d x$

$= \int_{0}^{1} e^{x} {[- \cos y]}_{0}^{π x} d x$

$= - \int_{0}^{1} e^{x} \cos π x d x + \int_{0}^{1} e^{x} d x$

$= - \int_{0}^{1} e^{x} \cos π x d x + {[e^{x}]}_{0}^{1}$

$= - \int_{0}^{1} e^{x} \cos π x d x + e - 1$ 　･･････(1)

$= - \int_{0}^{1} e^{x} {(\frac{1}{π} \sin π x)}^{'} d x + e - 1$

$= - \frac{1}{π} {{[e^{x} \sin π x]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} \sin π x d x} + e - 1$

$= - \frac{1}{π} (- \int_{0}^{1} e^{x} \sin π x d x) + e - 1$

$= \frac{1}{π} \int_{0}^{1} e^{x} \sin π x d x + e - 1$

$= \frac{1}{π} \int_{0}^{1} e^{x} {(- \frac{1}{π} \cos π x)}^{'} d x + e - 1$

$= - \frac{1}{π^{2}} {{[e^{x} c o x π x]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} \cos π x d x} + e - 1$

$= - \frac{1}{π^{2}} {(- e - 1) - \int_{0}^{1} e^{x} \cos π x d x} + e - 1$

$= \frac{1}{π^{2}} (e + 1) + \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{1} e^{x} \cos π x d x + e - 1$ 　･･････(2)

ここで， $I = \int_{0}^{1} e^{x} \cos π x d x$ とおくと，(1)，(2)より

$- I + e - 1$ $= \frac{1}{π^{2}} (e + 1) + \frac{1}{π^{2}} I + e - 1$ 　･･････(3)

が得られる．(3)を $I$ について解く

$(\frac{1 + π^{2}}{π^{2}}) I = - \frac{1}{π^{2}} (e + 1)$

$I = - \frac{1}{1 + π^{2}} (e + 1)$

よって

$\iint_{D} e^{x} \sin y d x d y$ $= - I + e - 1$

$= \frac{e + 1}{1 + π^{2}} + e - 1$

最終更新日： 2023年10月19日