重積分の計算問題

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$\iint_{D} 64 x y d x d y$ 　　 $(D : 1 ≦ x + y ≦ 2, - 2 ≦ x - 3 y ≦ 0)$

■答

$\frac{52}{3}$

■ヒント

$x + y = u$ ， $x - 3 y = v$ とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．

■解き方

領域 $D$ 　

領域 $D^{'}$ 　

$x + y = u$ ， $x - 3 y = v$ とおくと

$x = \frac{1}{4} (3 u + v)$ ， $y = \frac{1}{4} (u - v)$

となる．この変数変換によるヤコビアンは

$J (u, v) = | \begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \end{matrix} | = - \frac{3}{16} - \frac{1}{16}$ $= - \frac{1}{4}$

となる．変数変換により $(x, y)$ の領域 $D$ は $(u, v)$ の領域 $D^{'}$

$D^{'} : 1 ≦ u ≦ 2, -2 ≦ v ≦ 0$

に変換される．よって

(与式) $= \iint_{D^{'}} 64 \cdot \frac{1}{4} (3 u + v) \cdot \frac{1}{4} (u - v) \cdot \frac{1}{4} d u d v$

$= \iint_{D^{'}} (3 u^{2} - 2 u v - v^{2}) d u d v$

$= \int_{1}^{2} \{\int_{- 2}^{0} (3 u^{2} - 2 u v - v^{2}) d v\} d u$

$= \int_{1}^{2} {[3 u^{2} v - u v^{2} - \frac{1}{3} v^{3}]}_{- 2}^{0} d u$

$= \int_{1}^{2} (6 u^{2} + 4 u - \frac{8}{3}) d u$

$= {[2 u^{3} + 2 u^{2} - \frac{8}{3} u]}_{1}^{2}$

$= {(16 + 8 - \frac{16}{3}) - (2 + 2 - \frac{8}{3})}$

$= \frac{52}{3}$

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最終更新日： 2023年10月19日