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問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．
重積分の計算問題
■問題
次の重積分の値を求めよ．
∬D√a2−x2−y2dxdy (D:x2+y2≦ax)
■答
13πa3
■ヒント
領域 D の範囲は円になっているので極座標に変数変換する．
■解き方
領域D
領域Dの範囲を確認する．
x2+y2≦ax
x2−ax+y2≦0
(x−a2)2+y2≦(a2)2
よって， 領域Dは中心が(a2,0) ，半径がa2 の内部になる．
極座標変換 x=rcosθ ，y=rsinθ を行うと，(x,y)の領域D は図のような(r,θ) の領域D′
D′:0≦r≦acosθ,−π2≦θ≦π2
に移る．
領域D′
(与式)=∬D′√a2−r2·rdrdθ
=∫π2−π2(∫acosθ0√a2−r2·rdr)dθ
∫acosθ0√a2−r2·rdr について
t=√a2−r2 とおく置換積分をする．
dtdr=−r√a2−r2 ，dtdr=−rt ，rdt=−tdt
r:0→acosθ のときt:a→asinθ
よって
∫acosθ0√a2−r2·rdr=−∫asinθat2dt
=−[13t3]asinθa
=−13a3sin3θ+13a3
=13a3(1−sin3θ)
したがって
(与式)=∫π2−π213a3(1−sin3θ)dθ
=13a3∫π2−π2dθ−13a3∫π2−π2sin3θdθ
sin3θ は奇関数より，∫π2−π2sin3θdθ=0 （ここを参照）．よって
=13a3[θ]π2−π2−0
=13πa3
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最終更新日： 2023年8月22日
