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変数変換
■問題
適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．
∬D(x2+y2)e−x−ydxdy (D:−2<x+y<2,−2<x−y<2)
■答
23(5e2−17e2)
■ヒント
x+y=u ，x−y=v とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．
■解き方
 領域D  領域D′ |
x+y=u，x−y=v とおくと
x=12(u+v)，y=12(u−v)
となる．よって，この変数変換によるヤコビアンは
J(u,v)=|∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v|=|121212−12|=−12
となる．変数変換によって(x,y) の領域D は(u,v) の領域D′
D′:−2≦u≦2,−2≦v≦2 (長方形)
に変換される．よって
(与式)=∬D′12(u2+v2)e−u·12dudv
=14∬D′(u2+v2)e−ududv
=14∫2−2(∫2−2e−u(u2+v2)dv)du
=14∫2−2e−u[u2v+13v3]2−2du
=14∫2−2e−u(4u2+163)du
=∫2−2e−u(u2+43)du
部分積分法を用いて計算をする
=∫2−2(−e−u)′(u2+43)du
=[−e−u(u2+43)]2−2−∫2−2(−e−u)·2udu
={−e−2(4+43)+e2(4+43)}+∫2−22ue−udu
最後の項の積分は部分積分法を用いて計算をする
=163e2−163e−2−∫2−22u(e−u)′du
=163e2−163e−2−[2ue−u]2−2+∫2−22e−udu
=163e2−163e−2−{4e−2−(−4e2)}+∫2−22e−udu
=163e2−163e−2−4e−2−4e2+∫2−22e−udu
=43e2−283e−2+2∫2−2e−udu
=43e2−283e−2−2[e−u]2−2
=43e2−283e−2−2(e−2−e2)
=103e2−343e−2
=23(5e2−17e2)
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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年10月19日
