変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$\iint_{D} (x^{2} - y^{2}) (x + y) d x d y$ 　　 $(D : 0 ≦ x + y ≦ 2, - 1 ≦ x - y ≦ 2)$

■答

$2$

■ヒント

$x + y = u$ ， $x - y = v$ とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．

■解き方

領域 $D$ 　

領域 $D^{'}$ 　

$x + y = u$ ， $x - y = v$ とおくと

$x = \frac{1}{2} (u + v)$ ， $y = \frac{1}{2} (u - v)$

となる．よって，この変数変換によるヤコビアンは

$J (u, v) = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix} | = - \frac{1}{2}$

となる．変数変換によって $(x, y)$ の領域 $D$ は $(u, v)$ の領域 $D^{'}$

$D^{'} : 0 ≦ u ≦ 2, - 1 ≦ v ≦ 2$

に変換される．よって

(与式) $= \iint_{D^{'}} {{(\frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v)}^{2} - {(\frac{1}{2} u - \frac{1}{2} v)}^{2}} u \frac{1}{2} d u d v$

$= \frac{1}{2} \iint_{D^{'}} (u^{2} v) d u d v$

$= \frac{1}{2} \int_{- 1}^{2} (\int_{0}^{2} (u^{2} v) d u) d v$

$= \frac{1}{2} \int_{- 1}^{2} {[\frac{1}{3} u^{3} v]}_{0}^{2} d v$

$= \frac{1}{2} \int_{- 1}^{2} (\frac{8}{3} v - 0) d v$

$= \frac{1}{2} \int_{- 1}^{2} (\frac{8}{3} v) d v$

$= \frac{1}{2} {[\frac{4}{3} v^{2}]}_{- 1}^{2}$

$= \frac{1}{2} (\frac{16}{3} - \frac{4}{3})$

$= 2$

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最終更新日： 2025年3月28日