重積分の問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

  ∬ D ( x 2 −2y )dxdy         ( D:x+y≤1,x≥0,y≥0 )  

■答

− 1 4

■ヒント

積分領域 D から積分範囲を決定する． y について積分した後， x で積分する場合，

y の積分範囲： 0→1−x

x の積分範囲： 0 → 1

となる．

■解説

∬ D ( x 2 − 2 y ) d x d y

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x x 2 − 2 y dy dx  

= ∫ 0 1 dx ∫ 0 1−x ( x 2 −2y )dy

= ∫ 0 1 dx [ x 2 y− y 2 ] 0 1−x

= ∫ 0 1 ( − x 3 +2x−1 )dx

= [ − 1 4 x 4 + x 2 −x ] 0 1

=− 1 4

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最終更新日： 2013年7月8日