式の導出

$\frac{1}{f (t)} = a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2} + \dots$ $+ a_{r} t^{r} + g (t) t^{r + 1}$ 　(ただし， $g (t)$ は多項式)　　･･････(1)

と表されるとき，逆演算子 $\frac{1}{f (D)}$ は

$\frac{1}{f (D)} = a_{0} + a_{1} D + a_{2} D^{2} + \dots$ $+ a_{r} D^{r}$ 　･･････(2)

となる．

■導出

(1)より

$f (t) (a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2} + \dots + a_{r} t^{r} + g (t) t^{r + 1}) = 1$ 　･･････(3)

となる．微分演算子は，多項式の同様に，和，定数倍，積が成り立つので

$f (D) (a_{0} + a_{1} D + a_{2} D^{2} + \dots + a_{r} D^{r} + g (D) D^{r + 1}) = 1$ 　･･････(4)

が成り立つ． $F (x)$ に(4)の両辺の微分演算子をほどこすと

$f (D) (a_{0} + a_{1} D + a_{2} D^{2} + \dots + a_{r} D^{r} + g (D) D^{r + 1}) F (x) = 1 \cdot F (x)$

となる．以下のように微分演算子の計算を進める．

$f (D) \{a_{0} F (x) + a_{1} D F (x) + a_{2} D^{2} F (x) + \dots + a_{r} D^{r} F (x) + g (D) D^{r + 1} F (x)\} = F (x)$

$F (x)$ は $r$ 次の多項式であるので， $D^{r + 1} F (x) = 0$ である．よって

$f (D) \{a_{0} F (x) + a_{1} D F (x) + a_{2} D^{2} F (x) + \dots + a_{r} D^{r} F (x)\} = F (x)$

$f (D) (a_{0} + a_{1} D + a_{2} D^{2} + \dots + a_{r} D^{r}) F (x) = F (x)$ 　･･････(5)

$(a_{0} + a_{1} D + a_{2} D^{2} + \dots + a_{r} D^{r}) F (x)$ は $x$ の関数で

$z = (a_{0} + a_{1} D + a_{2} D^{2} + \dots + a_{r} D^{r}) F (x)$ $f (D) z = F (x)$ 　･･････(6)

とおくと

$f (D) z = F (x)$ 　･･････(7)

となり，逆演算子の考えを用いて(7)を書き直すと

$z = \frac{1}{f (D)} F (x)$ 　　･･････(8)

と表現できる．(6)，(8)より

$(a_{0} + a_{1} D + a_{2} D^{2} + \dots + a_{r} D^{r}) F (x)$ $= \frac{1}{f (D)} F (x)$

が得られ，したがって

$\frac{1}{f (D)} = a_{0} + a_{1} D + a_{2} D^{2} + \dots + a_{r} D^{r}$

となる．

学生スタッフ作成
　最終更新日： 2024年10月7日