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式の導出

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$${\displaystyle =e^{\alpha x}\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}\left[e^{-\alpha x}F\left(x\right)\right]}$  

■導出

微分演算子の基本公式

${\displaystyle f\left(D\right)\left[e^{\alpha x}y\right]=e^{\alpha x}f\left(D+\alpha \right)y}$  ⇒詳細

を利用する．

${\displaystyle y=\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}\left[e^{-\alpha x}F\left(x\right)\right]}$  と置き，公式に代入すると

${\displaystyle f\left(D\right)\left[e^{\alpha x}\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}\left[e^{-\alpha x}F\left(x\right)\right]\right]}$${\displaystyle =e^{\alpha x}f\left(D+\alpha \right)\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}\left[e^{-\alpha x}F\left(x\right)\right]}$  

${\displaystyle f\left(D+\alpha \right)\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}=1}$ であるから，上の式は次のようになる．

${\displaystyle f\left(D\right)\left[e^{\alpha x}\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}\left[e^{-\alpha x}F\left(x\right)\right]\right]}$${\displaystyle =e^{\alpha x}{e}^{-\alpha x}F\left(x\right)}$  

${\displaystyle e^{\alpha x}{e}^{-\alpha x}=1}$  なので

${\displaystyle f\left(D\right)\left[e^{\alpha x}\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}\left[e^{-\alpha x}F\left(x\right)\right]\right]}$${\displaystyle =F\left(x\right)}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$${\displaystyle =e^{\alpha x}\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}\left[e^{-\alpha x}F\left(x\right)\right]}$  

 

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　最終更新日： 2023年6月9日

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