逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax　その1

$\frac{1}{D^{2} + a^{2}} cos a x = \frac{1}{2 a} x sin a x$

■導出その1

$Y = \frac{1}{D^{2} + a^{2}} e^{i a x}$ ･･････(1)

とおく． $D^{2} + a^{2} = (D - i a) (D + i a)$ と因数分解できるので，

$Y = \frac{1}{(D - i a) (D + i a)} e^{i a x}$

$= \frac{1}{D - i a} \frac{1}{D + i a} e^{i a x}$

$= \frac{1}{D - i a} [\frac{1}{D + i a} e^{i a x}]$

逆演算子の公式

$\frac{1}{f (D)} e^{a x} = \frac{1}{f (a)} e^{a x}$ ⇒詳細

を利用すると

$Y = \frac{1}{D - i a} \frac{1}{i a + i a} e^{i a x}$

$= \frac{1}{2 i a} \frac{1}{D - i a} e^{i a x}$

逆演算子の公式

$\frac{1}{D - a} F (x) = e^{a x} \int e^{- a x} F (x) d x$ ⇒詳細

を利用すると

$Y = \frac{1}{2 i a} e^{i a x} \int e^{- i a x} e^{i a x} d x$

$= \frac{1}{2 i a} e^{i a x} \int d x$

$= \frac{1}{2 i a} x e^{i a x}$ ･･････(2)

ここでオイラーの公式

$e^{i x} = \cos x + i \sin x$

を利用すると，(2)式は次のように変形できる．

$Y = \frac{1}{2 i a} x (\cos a x + i \sin a x)$

$= - \frac{1}{2 a} i x (\cos a x + i \sin a x)$

$= \frac{1}{2 a} x \sin a x - i \frac{1}{2 a} x \cos a x$

また(1)式はオイラーの公式より

$Y = \frac{1}{D^{2} + a^{2}} (\cos a x + i \sin a x)$

なので

$\frac{1}{D^{2} + a^{2}} \cos a x + i \frac{1}{D^{2} + a^{2}} \sin a x$ $= \frac{1}{2 a} x \sin a x - i \frac{1}{2 a} x \cos a x$

となる．

よって，実部に注目すると，

$\frac{1}{D^{2} + a^{2}} \cos a x = \frac{1}{2 a} x \sin a x$

導出その2はこちら

導出その3はこちら

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年6月9日