逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax その2

$\frac{1}{D^{2} + a^{2}} cos a x = \frac{1}{2 a} x sin a x$

■導出その2

$Y = \frac{1}{D^{2} + a^{2}} e^{i a x}$ ･･････(1)

とおく． $D^{2} + a^{2} = (D + i a) (D - i a)$ と因数分解できるので，

$Y = \frac{1}{(D + i a) (D - i a)} e^{i a x}$

$= \frac{1}{D + i a} \frac{1}{D - i a} e^{i a x}$

$= \frac{1}{D + i a} [\frac{1}{D - i a} e^{i a x}]$

$= \frac{1}{D + i a} e^{i a x} \frac{1}{D} e^{- i a x} e^{i a x}$

$= \frac{1}{D + i a} e^{i a x} \frac{1}{D} 1$

$= \frac{1}{D + i a} e^{i a x} x$

$= e^{- i a x} \frac{1}{D} e^{i a x} e^{i a x} x$

$= e^{- i a x} \int x e^{i 2 a x} d x$

積分のやり方はこちら

これを計算すると

$Y = e^{- i a x} (- \frac{i}{2 a} x e^{i 2 a x} + \frac{1}{4 a^{2}} e^{i 2 a x})$

$= - \frac{i}{2 a} x e^{i a x} + \frac{1}{4 a^{2}} e^{i a x}$

しかし， $\frac{1}{4 a^{2}} e^{i a x}$ は線形同時微分方程式 $(D^{2} + a^{2}) y = 0$ の一般解に含まれるため省略する．

したがって

$Y = - \frac{i}{2 a} x e^{i a x}$

$= - \frac{i}{2 a} x (\cos x + i \sin x)$

$= \frac{1}{2 a} \sin x - \frac{i}{2 a} \cos x$ ･･････(2)

ここで，(1)より

$Y = \frac{1}{D^{2} + a^{2}} e^{i a x}$

$= \frac{1}{D^{2} + a^{2}} (\cos x + i \sin x)$

$= \frac{1}{D^{2} + a^{2}} \cos x + i \frac{1}{D^{2} + a^{2}} \sin x$ ･･････(3)

よって(2)(3)より

$\frac{1}{D^{2} + a^{2}} \cos x + i \frac{1}{D^{2} + a^{2}} \sin x$ $= \frac{1}{2 a} \sin x - \frac{i}{2 a} \cos x$

となり，実部を比較すると

$\frac{1}{D^{2} + a^{2}} \cos x = \frac{1}{2 a} \sin x$

導出その1はこちら

導出その3はこちら

学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年10月27日