逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax　その3

$\frac{1}{D^{2} + a^{2}} \cos a x = \frac{1}{2 a} x \sin a x$

■導出その3

$D^{2} + a^{2} = (D + i a) (D - i a)$ と因数分解できるので

$\frac{1}{(D + i a) (D - i a)} \cos a x$

$= \frac{1}{D + i a} {\frac{1}{D - i a} \cos a x}$

$= \frac{1}{D + i a} e^{i a x} \int e^{- i a x} \cos a x d x$

⇒積分のやり方はこちら

$= \frac{1}{D + i a} e^{i a x} (\frac{i}{4 a} e^{- i 2 a x} + \frac{1}{2} x)$

$= \frac{1}{D + i a} (\frac{i}{4 a} e^{- i a x} + \frac{1}{2} x e^{i a x})$

$= \frac{i}{4 a} (\frac{1}{D + i a} e^{- i a x}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{D + i a} x e^{i a x})$

$= \frac{i}{4 a} e^{- i a x} \frac{1}{D} e^{i a x} e^{- i a x} + \frac{1}{2} e^{- i a x} \frac{1}{D} e^{i a x} x e^{i a x}$

$= \frac{i}{4 a} e^{- i a x} \frac{1}{D} 1 + \frac{1}{2} e^{- i a x} \frac{1}{D} x e^{2 i a x}$

⇒積分のやり方はこちら

$= \frac{i}{4 a} e^{- i a x} x + \frac{1}{2} e^{- i a x} \int x e^{2 i a x} d x$

$= \frac{i}{4 a} e^{- i a x} x + \frac{1}{2} e^{- i a x} (- \frac{i}{2 a} e^{i 2 a x} x + \frac{1}{4 a^{2}} e^{i 2 a x})$

$= \frac{i}{4 a} e^{- i a x} x - \frac{i}{4 a} e^{i a x} x + \frac{1}{8 a^{2}} e^{i a x}$

$= \frac{i}{4 a} x (e^{- i a x} - e^{i a x}) + \frac{1}{8 a^{2}} e^{i a x}$

$= \frac{i}{4 a} x (\cos a x - i \sin a x - \cos a x - i \sin a x) + \frac{1}{8 a^{2}} e^{i a x}$

$= \frac{1}{2 a} x \sin a x + \frac{1}{8 a^{2}} e^{i a x}$

$\frac{1}{8 a^{2}} e^{i a x}$ は線形同時微分方程式 $(D^{2} + a^{2}) y = 0$ の一般解に含まれるため省略すると

$\frac{1}{D^{2} + a^{2}} \cos a x = \frac{1}{2 a} x \sin a x$

となる．

導出その1はこちら

導出その2はこちら

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年6月9日