|
|||||||||||||
|
|||||||||||||
|
dydx+P(x)y=Q(x) ・・・・・・(1)
を1階線形微分方程式といい,解は
y=e−∫Pdx(∫Qe∫Pdxdx+C)
となる.
(1)の両辺にe∫Pdx をかける.
e∫Pdx(dydx+Py)=e∫PdxQ
dydxe∫Pdx+yPe∫Pdx=Qe∫Pdx ・・・・・・(1)
ddx(ye∫Pdx)=Qe∫Pdx ・・・・・・(2)
(1)から(2)の式変形の説明 ddx(ye∫Pdx)=dydxe∫Pdx+yddxe∫Pdx (∵ 積の微分) 第2項を合成関数の微分をする =dydxe∫Pdx+y(e∫Pdxddx∫Pdx) 第2項のddx∫Pdx は不定積分の定義より P となる =dydxe∫Pdx+y(e∫PdxP) =dydxe∫Pdx+yPe∫Pdx |
(2)の両辺を積分すると
ye∫Pdx=∫Qe∫Pdxdx+C
となる.両辺をe∫Pdx で割って
y=∫Qe∫Pdxdx+Ce∫Pdx
=e−∫Pdx(∫Qe∫Pdxdx+C) ( ∵1a=a−1 ここを参照)
ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>1階線形微分方程式
学生スタッフ作成
最終更新日:
2023年6月10日