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微分演算子の線形性

導関数の基本式Tを微分演算子 D  を用いて表すと以下のようになる.

1 D{ c }=0 { c } =0 参照ページ
2 D{ cf( x ) }=cD{ f( x ) } { cf( x ) } =c { f( x ) } 参照ページ
3 D{ f( x )±g( x ) }=Df( x )±Dg( x )   { f( x )±g( x ) } = { f( x ) } ± { g( x ) } 参照ページ 
4 D{ f( x )g( x ) }={ Df( x ) }g( x )±f( x ){ Dg( x ) }   { f( x )g( x ) } = { f( x ) } g( x )±f( x ) { g( x ) }   参照ページ
5 D{ 1 f( x ) }= Df( x ) { f( x ) } 2 { 1 f( x ) } = f ( x ) { f( x ) } 2 参照ページ 
6 D{ f( x ) g( x ) }= { Df( x ) }g( x )f( x ){ Dg( x ) } { g( x ) } 2   { f( x ) g( x ) } = { f( x ) } g( x )f( x ) { g( x ) } { g( x ) } 2   参照ページ 
 

2,3より微分演算子 D  は線形である.

D{ ky }=kDy  

D 2 { ky }=DD{ ky }=D{ Dky }=D{ kDy }=k{ D( Dy ) }=k D 2 y  

D n { ky }=k D n y  

となる.

f( D )  は多項式であるので

f( D ){ ky }=kf( D )y  ・・・・・・(1)

が成り立つ.

D{ y+z }=Dy+Dz  

D 2 { y+z }=D{ D( y+z ) }=D{ Dy+Dz }=D{ Dy }+D{ Dz }= D 2 y+ D 2 z  

D n { y+z }= D n y+ D n z  

となる.

f( D ) 多項式であるので

f( D ){ y+z }=f( D )y+f( D )z  ・・・・・・(2)

が成り立つ.

(1)(2)より f( D ) 線形である.

 

 

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学生スタッフ作成
初版:2009年8月25日,最終更新日: 2011年8月30日

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