全微分の定義

2変数関数 ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ が領域 D の ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ で全微分可能であれば，

（ただし， ${\displaystyle \left(h,k\right)\to 0}$ ならば ${\displaystyle \epsilon \left(h,k\right)\to 0}$  )

と表わすことができる．

x の変化が微小で，それそれ ${\displaystyle dx}$ ， ${\displaystyle dy}$ と表わせるとき(微分形式を参照)，  (1)の右辺の ${\displaystyle \epsilon \left(h,k\right)\sqrt{h^2+k^2}}$ の値は，右辺の他の部分 ${\displaystyle f_x\left(a,b\right)h+f_y\left(a,b\right)k}$ の値に比べ微小となり，右辺の値は ${\displaystyle f_x\left(a,b\right)h+f_y\left(a,b\right)k}$ が主要なものとなる．

この ${\displaystyle f_x\left(a,b\right)h+f_y\left(a,b\right)k}$ の h を ${\displaystyle dx}$ ， y を ${\displaystyle dy}$ に置き換えた ものを f の ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ における全微分といい

${\displaystyle df\left(a,b\right)}$ または， ${\displaystyle dz}$

で表わす．すなわち，

${\displaystyle df\left(a,b\right)=f_x\left(a,b\right)dx+f_y\left(a,b\right)dy}$  

となる．

f の ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ における全微分は，

${\displaystyle dz=f_x\left(x,y\right)dx+f_y\left(x,y\right)dy}$

となる．

 

【参考文献】　水野克彦　「基礎課程　解析学」，学術図書出版

 

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最終更新日： 2025年5月30日