全微分の定義

2変数関数 $z = f (x, y)$ $z = f (x, y)$ が領域 $D$ $D$ の $(a, b)$ $(a, b)$ で全微分可能であれば，

$f (a + h, b + h) - f (a, b)$ $f (a + h, b + h) - f (a, b)$ $= f_{x} (a, b) h + f_{y} (a, b) k + ε (h, k) \sqrt{h^{2} + k^{2}}$ $= f_{x} (a, b) h + f_{y} (a, b) k + ε (h, k) \sqrt{h^{2} + k^{2}}$ ･･････(1)

（ただし， $(h, k) \to 0$ $(h, k) \to 0$ ならば $ε (h, k) \to 0$ $ε (h, k) \to 0$ )

と表わすことができる．

$x$ $x$ の変化が微小で，それそれ $d x$ $d x$ ， $d y$ $d y$ と表わせるとき(微分形式を参照)， (1)の右辺の $ε (h, k) \sqrt{h^{2} + k^{2}}$ $ε (h, k) \sqrt{h^{2} + k^{2}}$ の値は，右辺の他の部分 $f_{x} (a, b) h + f_{y} (a, b) k$ $f_{x} (a, b) h + f_{y} (a, b) k$ の値に比べ微小となり，右辺の値は $f_{x} (a, b) h + f_{y} (a, b) k$ $f_{x} (a, b) h + f_{y} (a, b) k$ が主要なものとなる．

この $f_{x} (a, b) h + f_{y} (a, b) k$ $f_{x} (a, b) h + f_{y} (a, b) k$ の $h$ $h$ を $d x$ $d x$ ， $y$ $y$ を $d y$ $d y$ に置き換えたものを $f$ $f$ の $(a, b)$ $(a, b)$ における全微分といい

$d f (a, b)$ $d f (a, b)$ 　または， $d z$ $d z$

で表わす．すなわち，

$d f (a, b) = f_{x} (a, b) d x + f_{y} (a, b) d y$ $d f (a, b) = f_{x} (a, b) d x + f_{y} (a, b) d y$

となる．

$f$ $f$ の $(x, y)$ $(x, y)$ における全微分は，

$d z = f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y$ $d z = f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y$

となる．

【参考文献】　水野克彦　「基礎課程　解析学」，学術図書出版

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最終更新日： 2023年1月21日