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合成関数を微分する手順

合成関数 ${\displaystyle y=f\left(g\left(x\right)\right)}$ を次の手順に従っておこなう．

合成関数を変数 $u$ を用いて以下のように2つの関数に分ける．

${\displaystyle y=f\left(u\right)}$

${\displaystyle u=g\left(x\right)}$

$y$ ， $u$ をそれぞれ微分する．

まず， $y$ を $u$ で微分する．微分した後，変数 $u$ を変数 $x$ で表しなおす．

${\displaystyle \frac{dy}{du}=f^{\prime }\left(u\right)=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)}$

次に， $u$ を $x$ で微分する．

${\displaystyle \frac{du}{dx}=g^{\prime }\left(x\right)}$

合成関数の微分 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ は，計算した ${\displaystyle \frac{dy}{du}}$ と ${\displaystyle \frac{du}{dx}}$ を掛け合わせる．合成関数の導関数を参照のこと．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$

■例

${\displaystyle y={\left(logx\right)}^3}$ を微分する．

${\displaystyle y=u^3}$

${\displaystyle u=logx}$

と2つの関数に分け，それぞれを微分する．

${\displaystyle \frac{dy}{du}=3u^2=3{\left(logx\right)}^2}$

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}}$

よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =3{\left(logx\right)}^2·\frac{1}{x}}$

${\displaystyle =\frac{3{\left(logx\right)}^2}{x}}$

となる．

変数 $u$ を用いず

${\displaystyle y^{\prime }}$ ${\displaystyle ={\left\{{\left(logx\right)}^3\right\}}^{\prime }}$

${\displaystyle =3{\left(logx\right)}^2·{\left(logx\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =3{\left(logx\right)}^2·\frac{1}{x}}$

${\displaystyle =\frac{3{\left(logx\right)}^2}{x}}$

と書くこともある．合成関数の微分の計算に慣れてくると間の式も省略してもよい．

 

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最終更新日： 2025年2月21日

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