逆行列

正方行列 ${\displaystyle A}$ に対し，

${\displaystyle AB=BA=E}$ （ ${\displaystyle E}$ は単位行列）

となる行列 ${\displaystyle B}$ が存在すれば ${\displaystyle B}$ を ${\displaystyle A}$ の逆行列といって ${\displaystyle A^{-1}}$ と表わす．

また，この行列 ${\displaystyle A}$ を正則行列という．

逆行列が存在するための必要十分条件は，${\displaystyle A}$ が正則行列であるための必要十分条件と同じで

${\displaystyle \left|A\right|\ne 0}$

である(ここを参照)．

正則行列 A

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)}$

の逆行列 ${\displaystyle A^{-1}}$ は一意に定まり，

${\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left(\begin{array}{cccc}{\tilde{a}}_{11}& {\tilde{a}}_{21}& \cdots & {\tilde{a}}_{n1}\\ {\tilde{a}}_{12}& {\tilde{a}}_{22}& \cdots & {\tilde{a}}_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\tilde{a}}_{1n}& {\tilde{a}}_{2n}& \cdots & {\tilde{a}}_{nn}\end{array}\right)}$

となる(ここを参照)． ${\displaystyle {\tilde{a}}_{ij}}$ は ${\displaystyle a_{ij}}$ の余因子である．

■逆行列の性質

• 逆行列の逆行列
  ${\displaystyle A}$ が正則行列なら， ${\displaystyle A^{-1}}$ も正則行列で
  

  ${\displaystyle {\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A}$



• 行列の積の逆行列
  ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle B}$ が正則行列なら， ${\displaystyle AB}$ も正則行列で
  

  ${\displaystyle {\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}}$

⇒証明

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最終更新日：2025年4月22日