次数下げの計算

ここでは，行列式の次数を下げる場合に使われる定理について説明する．

・(1,1)成分を除く，第1行の成分が0の場合

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$${\displaystyle =a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

・(1,1)成分を除く，第1列の成分が0の場合

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$${\displaystyle =a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

どちらの場合でも ${\displaystyle a_{11}}$ 成分を行列の外に出すと，
　
元の行列は ${\displaystyle n}$ 次の正方行列から ${\displaystyle n-1}$ 次の正方行列となる．

次数下げの計算を利用することにより，4次以上の行列を3次，2次に次数を下げて計算することができる．

⇒証明へ

行列の次数下げに利用する他の定理 その1，その2

■具体例

　

例1

(1,1)成分を除く，第1行の成分が0であった場合

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}5& 0& 0& 0& 0\\ 6& 7& 8& 9& 10\\ 11& 12& 13& 14& 15\\ 16& 17& 18& 19& 20\\ 21& 22& 23& 24& 25\end{array}\right|}$${\displaystyle =5\left|\begin{array}{cccc}7& 8& 9& 10\\ 12& 13& 14& 15\\ 17& 18& 19& 20\\ 22& 23& 24& 25\end{array}\right|}$

例2

(1,1)成分を除く，第1列の成分が0であった場合（例1の行列式とは無関係である）

　　

${\displaystyle 5\left|\begin{array}{cccc}7& 8& 9& 10\\ 0& 13& 14& 15\\ 0& 18& 19& 20\\ 0& 23& 24& 25\end{array}\right|}$${\displaystyle =5\times 7\left|\begin{array}{ccc}13& 14& 15\\ 18& 19& 20\\ 23& 24& 25\end{array}\right|}$${\displaystyle =35\left|\begin{array}{ccc}13& 14& 15\\ 18& 19& 20\\ 23& 24& 25\end{array}\right|}$

 

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最終更新日： 2025年1月17日