平面の方程式

点 $P$ $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ を通り，法線ベクトルが $\vec{n} = (a, b, c)$ の平面の方程式は

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

と表わされる．また，平面の方程式は一般に

$a x + b y + c z + d = 0$ （一般形）

と表される．このとき，平面の法線ベクトルは $\vec{n} = (a, b, c)$ となる．

■平面の方程式の導出

平面は，空間中の点と平面に垂直な法線ベクトルが決まれば，一意的に決まる．平面上の点 $P$ の座標を $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，法線ベクトルを $\vec{n} = (a, b, c)$ とし，平面上の任意の点 $Q$ の座標を $(x, y, z)$ とすると，ベクトル $\overset{⟶}{PQ}$ は平面に含まれる． $\vec{n}$ は平面の法線ベクトルなので， $\vec{n}$ と $\overset{⟶}{PQ}$ のなす角は90°である．よって内積がゼロとなるので

$\vec{n} \cdot \overset{⟶}{PQ} = 0$

となる．この関係から

$\begin{array}{l} (a, b, c) \cdot (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}) = 0 \\ a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0 \end{array}$

となり，平面の方程式が求まる．

■平面の方程式の求め方のいろいろ】

●空間中の3点で決まる平面の方程式

空間中の3点を $A$ $(a_{x}, a_{y}, a_{z})$ ， $B$ $(b_{x}, b_{y}, b_{z})$ ， $C$ $(c_{x}, c_{y}, c_{z})$ を含む平面の方程式の求め方．

●方法1

3点を含む平面上の点をP $(x, y, z)$ とすると， $\overset{⟶}{AB}$ と $\overset{⟶}{AC}$ を用いて $\overset{⟶}{AP}$ を表すと

$m \overset{⟶}{AB} + n \overset{⟶}{AC} = \overset{⟶}{AP}$

となる． $m$ ， $n$ は媒介変数．これを座標で表すと

$m {(b_{x}, b_{y}, b_{z}) - (a_{x}, a_{y}, a_{z})} + n {(c_{x}, c_{y}, c_{z}) - (a_{x}, a_{y}, a_{z})}$ $= {(x, y, z) - (a_{x}, a_{y}, a_{z})}$

となり，整理すると

$(m (b_{x} - a_{x}) + n (c_{x} - a_{x}),$ $m (b_{y} - a_{y}) + n (c_{y} - a_{y}),$ $m (b_{z} - a_{z}) + n (c_{z} - a_{z}))$ $= (x - a_{x}, y - a_{y}, z - a_{z})$

となる．各座標を比べると

${\begin{cases} m (b_{x} - a_{x}) + n (c_{x} - a_{x}) = x - a_{x} \\ m (b_{y} - a_{y}) + n (c_{y} - a_{y}) = y - a_{y} \\ m (b_{z} - a_{z}) + n (c_{z} - a_{z}) = z - a_{z} \end{cases}$

となる．この関係式から， $m$ ， $n$ を消去すると平面の方程式が得られる．

●方法2

平面の方程式の一般形の $a x + b y + c z + d = 0$ に点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ の座標を代入して得られる連立方程式

${\begin{cases} a \cdot a_{x} + b \cdot a_{y} + c \cdot a_{z} + d = 0 \\ a \cdot b_{x} + b \cdot b_{y} + c \cdot b_{z} + d = 0 \\ a \cdot c_{x} + b \cdot c_{y} + c \cdot c_{z} + d = 0 \end{cases}$

を解いても3点を含む平面の方程式を求めることができる．

●方法3

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ を

$\vec{n} = (l, m, n)$

とする．

$\vec{A B} \cdot \vec{n} = 0$

$\vec{A C} \cdot \vec{n} = 0$

より， $\vec{n} = (l, m, n)$ を求める．

点 $A (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ を通り，法線ベクトルが $\vec{n} = (l, m, n)$ より，平面の方程式は

$l (x - a_{x}) + m (y - a_{y}) + n (z - a_{z}) = 0$

となる．

●方法4

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は外積を用いると

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C}$

となる．

法線ベクトル $\vec{n}$ が求まり，平面は点 $A$ を通ることより，平面の方程式を求めることができる．

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最終更新日： 2025年4月22日