三平方の定理（ピタゴラスの定理）

$∠ ACB = 90 °$ となる直角三角形 $ABC$ において，各辺の長さを， $BC = a$ ， $CA = b$ ， $AB = c$ とすると

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

の関係が成り立つ．この関係を三平方の定理あるいはピタゴラスの定理という．

■証明

△ $ABC$ において，辺 $BC$ を一辺と知る正方形 $CBDE$ を描き，同じく辺 $AC$ を一辺とする正方形 $ACGH$ を下図の左側のように描く．直線 $ED$ と直線 $GH$ の交点を $F$ とし，直線 $FG$ と直線 $AB$ の交点を $I$ とする．

まず，直線 $AB$ と直線 $IF$ の関係を調べる．

四角形 $CEFG$ は長方形で， $CE = a$ ， $EF = b$ ， $∠ CEF = 90 °$ となる．

よって

△ $FCE$ ≡△ $ABC$ 　（∵2辺とその間の角が等しい）

次に， $∠ AIC$ について考える．

$∠ ECF = ∠ ICA$ 　（∵対角は等しい）， $∠ ECF = ∠ CBA$ 　（△ $FCE$ ≡△ $ABC$ ）より

$∠ ICA = ∠ CBA$

よって

△ $ABC$ ∽△ $ACI$ 　（∵2角が等しい）

以上より

$∠ AIC = 90 °$

次に，面積が保たれる変形を繰り返すことにより，定理を証明する．

正方形 $BCED$ の面積＝平行四辺形 $BCFJ$ の面積　（∵ $BC$ 共通で高さが同じ）　･･････(1)

正方形 $ACGH$ の面積＝平行四辺形 $ACFK$ の面積　（∵ $AC$ 共通で高さが同じ）　･･････(2)

さらに

平行四辺形 $BCFJ$ の面積＝長方形 $BILJ$ の面積　（∵ $BJ$ 共通で高さが同じ）　　･･････(3)

平行四辺形 $ACFK$ の面積＝長方形 $AILK$ の面積　（∵ $AK$ 共通で高さが同じ）　　･･････(4)

(1)，(2)，(3)，(4)より

四角形 $ABJK$ の面積＝正方形 $BCED$ の面積＋正方形 $ACGH$ の面積　･･････(5)

一方

$JD = FE = AC$ ， $BD = BC$ ， $∠ ACB = ∠ JDB = 90 °$ より△ $ABC$ ≡△ $JBD$

よって

$JB = AB = c$

となり

四角形 $ABJK$ は正方形　･･････(6)

となる．(5)，(6)より

正方形 $ABJK$ の面積＝正方形 $BCED$ の面積＋正方形 $ACGH$ の面積

となる．すなわち

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

となる．

三平方の定理の証明は，この他にもいろいろな方法がる．

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最終更新日： 2023年10月2日