自然対数の底 e の定義

自然対数の底 $e$ は以下に示す極限の式で定義されている．

$e = lim_{t \to 0} {(1 + t)}^{\frac{1}{t}}$ ･･････(1)

$t = \frac{1}{s}$ とおくと

$e = lim_{s \to \infty} {(1 + \frac{1}{s})}^{s}$ ･･････(2)

と書き替えることができる．

【備考】

$t \to + 0$ (右側極限)のとき $s \to \infty$ となる．よって，(1)は
$e = lim_{s \to \infty} {(1 + \frac{1}{s})}^{s}$ ･･････(3)

となる．
$t \to - 0$ (左側極限)のとき， $s \to - \infty$ となる．よって，(3)は
$e = \lim_{s \to - \infty} {(1 + \frac{1}{s})}^{s}$ ･･････(4)

となる．

(4)の右辺について， $s = - r$ とおくと， $s \to - \infty$ のとき， $r \to \infty$ となる．よって

$\lim_{s \to - \infty} {(1 + \frac{1}{s})}^{s}$ $= \lim_{r \to \infty} {(1 + \frac{1}{- r})}^{- r}$ $= \lim_{r \to \infty} {(1 - \frac{1}{r})}^{- r}$ $= \lim_{r \to \infty} {(\frac{r - 1}{r})}^{- r}$

$= \lim_{r \to \infty} {(\frac{r}{r - 1})}^{r}$

さらに， $r - 1 = q$ とおくと， $r \to \infty$ のとき， $q \to \infty$ となる．よって

$= \lim_{q \to \infty} {(\frac{q + 1}{q})}^{q + 1}$ $= \lim_{q \to \infty} {(1 + \frac{1}{q})}^{q + 1}$ $= \lim_{q \to \infty} {(1 + \frac{1}{q})}^{q} (1 + \frac{1}{q})$

極限の性質より

$= \{\lim_{q \to \infty} {(1 + \frac{1}{q})}^{q}\} \{\lim_{q \to \infty} (1 + \frac{1}{q})\}$ $= \{\lim_{q \to \infty} {(1 + \frac{1}{q})}^{q}\} \cdot 1$ $= \lim_{q \to \infty} {(1 + \frac{1}{q})}^{q}$

したがって

$\lim_{s \to - \infty} {(1 + \frac{1}{s})}^{s} = \lim_{q \to \infty} {(1 + \frac{1}{q})}^{q}$ ･･････(5)

(3)，(4)，(5)より

$e = \lim_{s \to \infty} {(1 + \frac{1}{s})}^{s} = \lim_{s \to - \infty} {(1 + \frac{1}{s})}^{s}$ ･･････(6)

となる．

$e$ の値は，2.71828182845904･････････

$e$ の特徴は，関係式 $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ が成り立つことである．すなわち， $e$ を底とする指数関数は，それ自身の導関数と等しくなる．

この自然対数の底 $e$ のことをネイピアの数ともいう．

■参考

自然対数の底 e は数学者オイラーが対数関数 $y = {log}_{a} x$ の導関数を求める過程で発見した．

$y = {log}_{a} x$ を導関数の定義に従って計算する．

$\frac{d y}{d x}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{\log_{a} (x + h) - \log_{a} x}{h}$

$= lim_{h \to 0} \frac{1}{h} {log}_{a} (\frac{x + h}{x})$

$= lim_{h \to 0} \frac{1}{h} {log}_{a} (1 + \frac{h}{x})$

$\frac{h}{x} = t$ とおくと， $h \to 0$ のとき $t \to 0$ となる．よって

$= lim_{t \to 0} \frac{1}{t x} {log}_{a} (1 + t)$

$= lim_{t \to 0} \frac{1}{x} {log}_{a} {(1 + t)}^{\frac{1}{t}}$

$= \frac{1}{x} lim_{t \to 0} {log}_{a} {(1 + t)}^{\frac{1}{t}}$

$= \frac{1}{x} {log}_{a} {lim_{t \to 0} {(1 + t)}^{\frac{1}{t}}}$

$t$ を0に近づけていったときの ${(1 + t)}^{\frac{1}{t}}$ の値を計算してみる．

${(1 + t)}^{\frac{1}{t}}$ の値は上の表よりある値に近づいていることがわかる．その値は，2.71828182845904･････････の無理数となり e の記号をつかって表す．

$e = lim_{t \to 0} {(1 + t)}^{\frac{1}{t}}$ より

$lim_{x \to 0} \frac{log (1 + x)}{x} = 1$ ⇒参照

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ ⇒参照

の関係式が得られる．

eを底とする指数関数は，それ自身の導関数と等しくなる．

$\frac{d}{d x} e^{x} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (e^{h} - 1)}{h}$

$= e^{x} \{\lim_{h \to 0} \frac{(e^{h} - 1)}{h}\}$

$= e^{x} \cdot 1$

$= e^{x}$

参考文献：対数eの不思議　著者　堀場芳数　講談社

最終更新日： 2026年5月8日