積分　1/(x^2+A)^(1/2)

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + A}} d x$ 　　･･････(1)　　 $(A \neq 0)$

$log$ の微分の具体例で，ここを参照すると

${\{log | x + \sqrt{x^{2} + A} |\}}^{'} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + A}}$

注：このサイトでは自然対数を $\ln a$ ではなく， $\log a$ と表記するようにしている．

とあるので，これを利用する．

積分は微分と逆の操作なので，(1)式は以下のようになる．

$\int^{} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + A}} d x$ $= \log | x + \sqrt{x^{2} + A} | + C$ 　･･････(2)

■別解

$A > 0$ のとき

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + A}} d x = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} d x$ 　ただし， $a > 0$

$A < 0$ のとき

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + A}} d x = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$ 　ただし， $a > 0$

とおいて，それぞれ積分をする．

● $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} d x$ （ただし， $a > 0$ ）の場合

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} d x$ $= \int \frac{1}{a \sqrt{{(\frac{x}{a})}^{2} + 1}} d x$

$\frac{x}{a} = \tan t$ （ $- \frac{1}{2} π < t < \frac{1}{2} π$ ）とおき置換積分をする．

$x = a \tan t$ ， $\frac{d x}{d t} = \frac{a}{\cos^{2} t}$ ， $d x = \frac{a}{\cos^{2} t} d t$ 　 $\tan t$ の微分はここを参照

よって

与式＝ $\int \frac{1}{a \sqrt{\tan^{2} t + 1}} \cdot \frac{a}{\cos^{2} t} d t$

$= \int \frac{1}{a \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} t}}} \cdot \frac{a}{\cos^{2} t} d t$

$- \frac{1}{2} π < t < \frac{1}{2} π$ では $\cos t > 0$ より，簡単に√を取り除くことができる．

$= \int \frac{1}{a \frac{1}{\cos t}} \cdot \frac{a}{\cos^{2} t} d t$

$= \int \frac{1}{\cos t} d t$

$= \frac{1}{2} \log (\frac{1 + \sin t}{1 - \sin t}) + C$ 　この計算はここを参照

$\sin t$ を変数 $x$ で表す．以下のように計算する．

$\frac{x}{a} = \tan t$ より

${(\frac{x}{a})}^{2} = \tan^{2} t = \frac{1}{\cos^{2} t} - 1$ 　三角関数の相互関係を参照

$\frac{1}{\cos^{2} t} = {(\frac{x}{a})}^{2} + 1 = \frac{x^{2} + a^{2}}{a^{2}}$

$\cos^{2} t = \frac{a^{2}}{x^{2} + a^{2}}$

$1 - \sin^{2} t = \frac{a^{2}}{x^{2} + a^{2}}$ 　三角関数の相互関係を参照

$\sin^{2} t = 1 - \frac{a^{2}}{x^{2} + a^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2} + a^{2}}$

$\sin t = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$ 　(∵ $\sin t$ と $\tan t$ は同符号 )

$\frac{1 + \sin t}{1 - \sin t}$ を変数 $x$ で表す．以下のように計算する．

$\frac{1 + \sin t}{1 - \sin t} = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}}{1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}}$

$= \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}} + x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}} - x}$

$= \frac{{(\sqrt{x^{2} + a^{2}} + x)}^{2}}{(\sqrt{x^{2} + a^{2}} - x) (\sqrt{x^{2} + a^{2}} + x)}$

$= \frac{{(\sqrt{x^{2} + a^{2}} + x)}^{2}}{a^{2}}$

$= \frac{1}{2} \log \frac{{(\sqrt{x^{2} + a^{2}} + x)}^{2}}{a^{2}} + C$

$= \frac{1}{2} \log {(\sqrt{x^{2} + a^{2}} + x)}^{2} + \frac{1}{2} \log a^{2} + C$

$= \log (\sqrt{x^{2} + a^{2}} + x) + C^{'}$ 　この対数の計算公式を参照　･･････(3)

ただし， $C^{'} = \frac{1}{2} \log a^{2} + C$ とおいている．

$\sqrt{x^{2} + a^{2}} + x > 0$ より，絶対値をとらなくてよい．

● $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$ （ただし， $a > 0$ ）の場合

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$ $= \int \frac{1}{a \sqrt{{(\frac{x}{a})}^{2} - 1}} d x$

$\frac{x}{a} = \frac{1}{\cos t}$ （ $0 < t < \frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2} < t < π$ ）とおく．

$x = \frac{a}{\cos t}$ ， $\frac{d x}{d t} = \frac{a \sin t}{\cos^{2} t}$ ， $d x = \frac{a \sin t}{\cos^{2} t} d t$ 　この微分の公式を参照

よって

与式＝ $\int \frac{1}{a \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} x} - 1}} \cdot \frac{a \sin t}{\cos^{2} t} d t$

$= \int \frac{1}{a \sqrt{\tan^{2} t}} \cdot a \tan t \cdot \frac{1}{\cos t} d t$ 　･･････(4)

$0 < t < \frac{π}{2}$ のとき $\tan t > 0$ ，よって，(4)は

$= \int \frac{1}{a \tan t} \cdot a \tan t \cdot \frac{1}{\cos t} d t$

$= \int \frac{1}{\cos t} d t$

$= \frac{1}{2} \log (\frac{1 + \sin t}{1 - \sin t}) + C$ 　この計算はここを参照　･･････(5)

$\frac{π}{2} < t < π$ のとき $\tan t < 0$ ，よって，(4)は

$= \int \frac{1}{a (- \tan t)} \cdot a \tan t \cdot \frac{1}{\cos t} d t$

$= - \int \frac{1}{\cos t} d t$

$= - \frac{1}{2} \log (\frac{1 + \sin t}{1 - \sin t}) + C$ 　この計算はここを参照　･･････(6)

$\sin t$ を変数 $x$ で表す．以下のように計算する．

$x = \frac{a}{\cos t}$ より

${(\frac{x}{a})}^{2} = \frac{1}{\cos^{2} t}$

$\cos^{2} t = \frac{a^{2}}{x^{2}}$

$1 - \sin^{2} t = \frac{a^{2}}{x^{2}}$ 　三角関数の相互関係を参照

$\sin^{2} t = 1 - \frac{a^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2}}$

$0 < t < \frac{π}{2}$ のとき

$\sin t = \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}$

$\frac{π}{2} < t < π$ のとき

$\sin t = - \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}$

$\frac{1 + \sin t}{1 - \sin t}$ を変数 $x$ で表す．以下のように計算する．

$0 < t < \frac{π}{2}$ のとき

$\frac{1 + \sin t}{1 - \sin t} = \frac{1 + \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}}{1 - \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}}$

$= \frac{x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x - \sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

$= \frac{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}}{(x - \sqrt{x^{2} - a^{2}}) (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}$

$= \frac{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}}{a^{2}}$

$\frac{π}{2} < t < π$ のとき

$\frac{1 + \sin t}{1 - \sin t} = \frac{1 - \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}}$

$= \frac{x - \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

$= \frac{(x - \sqrt{x^{2} - a^{2}}) (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}}$

$= \frac{a^{2}}{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}}$

$0 < t < \frac{π}{2}$ のとき

$= \frac{1}{2} \log \frac{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}}{a^{2}} + C$

$= \frac{1}{2} \log {(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2} + \frac{1}{2} \log a^{2} + C$

$= \log |x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}| + C^{'}$ 　この対数の計算公式を参照　･･････(7)

ただし， $C^{'} = \frac{1}{2} \log a^{2} + C$ とおいている．

$x < 0$ のとき， $x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} < 0$ なので，絶対値をとる必要がある．

$\frac{π}{2} < t < π$ のとき

$= - \frac{1}{2} \log \frac{a^{2}}{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}} + C$

$= - \frac{1}{2} \log a^{2} + \frac{1}{2} \log {(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2} + C$

$= \log |x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}| + C^{″}$ 　この対数の計算公式を参照　･･････(8)

ただし， $C^{″} = - \frac{1}{2} \log a^{2} + C$ とおいている．

$x < 0$ のとき， $x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} < 0$ なので，絶対値をとる必要がある．

(3)，(7)，(8)を統合すると(2)になる．

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学生スタッフ作成
最終更新日 2025年4月8日

積分 1/(x^2+A)^(1/2)

■別解

積分　1/(x^2+A)^(1/2)