放物線の定積分

$\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{1}{6} {(β - α)}^{3}$

放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ と $x$ 軸がなす2つの交点（解）が $x = α, β$ でかつ，積分範囲が $α ≦ x ≦ β$ の場合に利用する．（2次関数（放物線）と2次方程式については，関数を参照．）

■導出

$f (x) = (x - α) (x - β)$ 　とし，これを定積分の定義

$\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

にあてはめる．（ $F (x)$ は $f (x)$ の原始関数である．）

$\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x$

$= \int_{α}^{β} {x^{2} - (α + β) x + α β} d x$

$= \int_{α}^{β} x^{2} d x - (α + β) \int_{α}^{β} x d x$ $+ α β \int_{α}^{β} d x$

$= \frac{1}{3} {[x^{3}]}_{α}^{β} - (α + β) \cdot \frac{1}{2} {[x^{2}]}_{α}^{β}$ $+ α β {[x]}_{α}^{β}$

$= \frac{1}{3} (β^{3} - α^{3}) - (α + β) \cdot \frac{1}{2} (β^{2} - α^{2})$ $+ α β (β - α)$

$(β^{3} - α^{3})$ ， $(β^{2} - α^{2})$ については因数分解の公式を参照

$= \frac{1}{3} (β - α) (β^{2} + α β + α^{2}) - \frac{1}{2} {(α + β)}^{2} (β - α) + α β (β - α)$

$= (β - α) {\frac{1}{3} (β^{2} + α β + α^{2}) - \frac{1}{2} {(α + β)}^{2} + α β}$

$= (β - α) (\frac{1}{3} β^{2} + \frac{1}{3} α β + \frac{1}{3} α^{2} - \frac{1}{2} α^{2} - α β - \frac{1}{2} β^{2} + α β)$

$= (β - α) (- \frac{1}{6} β^{2} + \frac{2}{6} α β - \frac{1}{6} α^{2})$

$= - \frac{1}{6} (β - α) (β^{2} - 2 α β + α^{2})$

$= - \frac{1}{6} {(β - α)}^{3}$

部分積分法を用いる．

${\frac{1}{2} {(x - α)}^{2}}^{'} = (x - α)$ より

$f (x) = (x - α)$ ， $g (x) = (x - β)$

として部分積分を行う．（その1の $f (x)$ とは無関係である）

$\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x$

$= \int_{α}^{β} {\frac{1}{2} {(x - α)}^{2}}^{'} (x - β) d x$

$\int f^{'} (x) g (x) d x$ $= f (x) g (x) - \int f (x) g^{'} (x) d x$

$= \frac{1}{2} {[{(x - α)}^{2} (x - β)]}_{α}^{β}$ $- \frac{1}{2} \int_{α}^{β} {(x - α)}^{2} {(x - β)}^{'} d x$

$= \frac{1}{2} {{(β - α)}^{2} (β - β) - {(α - α)}^{2} (α - β)}$ $- \frac{1}{2} \int_{α}^{β} {(x - α)}^{2} d x$

$= 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} {[{(x - α)}^{3}]}_{α}^{β}$

$= - \frac{1}{6} {{(β - α)}^{3} - {(α - α)}^{3}}$

$= - \frac{1}{6} {(β - α)}^{3}$

最終更新日： 2023年7月29日