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xy 平面上において D を有界な領域とする. D の境界は有限個の区分的に滑らかな閉曲線からなるものとする.この境界を C とし,正の向きを定める.閉領域 D が縦線形領域 D :a≦x≦b,ψ(x)≦y≦ϕ(x) と表せ,2変数関数 f(x,y) が閉領域 D で1回微分可能であるならば次式が成り立つ.
∬Dfy(x,y)dxdy=−∫Cf(x,y)dx ・・・・・・(1)
領域を図示すると図のようになる.∬Dfy(x,y)dxdyを累次積分(重積分)と考えて式を変形すると
∬Dfy(x,y)dxdy=∫ba (∫ϕ(x)ψ(x)fy(x,y)dy)dx
x を固定して fy(x,y) を y で積分する
=∫ba ([f(x,y)]ϕ(x)ψ(x))dx
x は固定しているので y のみが変化する
=∫ba{f(x,ϕ(x))−f(x,ψ(x))}dx
定積分の基本式を使用して2つの積分に分ける
=∫baf(x,ϕ(x))dx−∫baf(x,ψ(x))dx ・・・・・・(2)
次に,線積分と考えて式を変形する.
境界 C において点A→点B→点C→点D→点E→点F→点G→点H→点A と一周する経路を正の向きとする.
点A
から点
D
に至る経路を
C1
点D
から点
E
に至る経路を
C2
点E
から
点H
に至る経路を
C3
点H
から点
A
に至る経路を
C4
とすると,境界 C に沿った線積分は次のように表せる.
∫Cf(x,y)dx=∫C1f(x,y)dx+∫C2f(x,y)dx+∫C3f(x,y)dx+∫C4f(x,y)dx ・・・・・・(3)
右辺の各項について考える.
x=t とおいて, C1 を変数 t を用いて表すと
{(t,ψ(t));t∈[a,b]} ・・・・・・(4)
となる.
この曲線上において t を a から b に変化させると,点(t,ψ(t)) は経路 C1に沿って点 A から点 D に移動することから,線積分 ∫C1f(x,y)dx を積分変数がtの 定積分に置換すると
∫C1f(x,y)dx=∫baf(t,ψ(t))dxdtdt ・・・・・・(5)
ここで, x=t であるから
dxdt=1 ・・・・・・(6)
となる.(6)を(5)に代入すると
∫C1f(x,y)dx=∫baf(t,ψ(t))dt ・・・・・・(7)
経路
C2
において,
x
は常に
x=b
である.
よって,
y=t
とおいて,
C2
を変数
t
および定数
b
を用いて表すと
{(b,t);t∈[ψ(b),ϕ(b)]} ・・・・・・(8)
∫C1f(x,y)dx=∫ϕ(x)ψ(x)f(b,t)dxdtdt ・・・・・・(9)
となる. x=b と一定であるから,
dxdt=0 ・・・・・・(10)
となる.よって,(9)は
∫C2f(x,y)dx=∫ϕ(x)ψ(x)f(b,t)dxdtdt=0 ・・・・・・(11)
となる.
[1]と同様に x=t とおいて C3 を変数 t を用いて表すと
{(t,ϕ(t));t∈[a,b]} ・・・・・・(12)
となる.
この曲線上において t を b から a に変化させると,経路 C3に沿って点(t,ϕ(t)) は点 E から点 H に移動することから, 線積分 ∫C3f(x,y)dx を積分変数がt の定積分に置換すると
∫C3f(x,y)dx=∫abf(t,ϕ(t))dxdtdt=−∫baf(t,ϕ(t))dxdtdt ・・・・・・(13)
となる. x=t であるから
dxdt=1 ・・・・・・(14)
となる.(14)を(13)に代入すると
∫C3f(x,y)dx=−∫baf(t,ϕ(t))dt ・・・・・・(15)
となる.
経路
C4
において,
x
は常に
x=a
である.
よって,[2]と同様に
dxdt=0 ・・・・・・(16)
となる.よって,(14)は
∫C4f(x,y)dx=0 ・・・・・・(17)
となる.
[1],[2],[3],[4]より
∫Cf(x,y)dx
=∫C1f(x,y)dx+∫C2f(x,y)dx+∫C3f(x,y)dx+∫C4f(x,y)dx
=∫baf(t,ψ(t))dt+0−∫baf(t,ϕ(t))dt+0
=∫baf(t,ψ(t))dt−∫baf(t,ϕ(t))dt
=−[∫baf(t,ϕ(t))dt−∫baf(t,ψ(t))dt] ・・・・・・(18)
累次積分と線積分による解をまとめると
累次積分による解((2)を再掲載)
∬Dfy(x,y)dxdy=∫baf(x,ϕ(x))dx−∫baf(x,ψ(x))dx ・・・・・・(19)
線積分による解((16)を再掲載)
∫Cf(x,y)dx=−[∫baf(t,ϕ(t))dt−∫baf(t,ψ(t))dt] ・・・・・・(20)
(20)に(19)を代入すると
∫Cf(x,y)dx =−∬Dfy(x,y)dxdy
∬Dfy(x,y)dxdy=−∫Cf(x,y)dx ・・・・・・(21)
が得られる.
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最終更新日:2024年10月7日