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グリーンの定理(補題1)

xy 平面上において D を有界な領域とする. D の境界は有限個の区分的に滑らかな閉曲線からなるものとする.この境界を C とし,正の向きを定める.閉領域 D が縦線形領域 D:axbψ(x)yϕ(x) と表せ,2変数関数 f(x,y) が閉領域 D で1回微分可能であるならば次式が成り立つ.

Dfy(x,y)dxdy=Cf(x,y)dx ・・・・・・(1)

■導出

領域を図示すると図のようになる.Dfy(x,y)dxdy累次積分(重積分)と考えて式を変形すると

Dfy(x,y)dxdy=ba(ϕ(x)ψ(x)fy(x,y)dy)dx

x を固定して fy(x,y)y で積分する

=ba([f(x,y)]ϕ(x)ψ(x))dx

x は固定しているので y のみが変化する

=ba{f(x,ϕ(x))f(x,ψ(x))}dx

定積分の基本式を使用して2つの積分に分ける

=baf(x,ϕ(x))dxbaf(x,ψ(x))dx ・・・・・・(2)

次に,線積分と考えて式を変形する.

境界 C において点ABCDEFGHA と一周する経路を正の向きとする.

A から点 D に至る経路を C1
D から点 E に至る経路を C2
E から 点H に至る経路を C3
H から点 A に至る経路を C4

とすると,境界 C に沿った線積分は次のように表せる.

Cf(x,y)dx=C1f(x,y)dx+C2f(x,y)dx+C3f(x,y)dx+C4f(x,y)dx ・・・・・・(3)

右辺の各項について考える.

[1] C1f(x,y)dx

x=t とおいて, C1 を変数 t を用いて表すと

{(t,ψ(t));t[a,b]} ・・・・・・(4)

となる.

この曲線上において ta から b に変化させると,点(t,ψ(t)) は経路 C1に沿って点 A から点 D に移動することから,線積分 C1f(x,y)dx を積分変数がt定積分置換すると

C1f(x,y)dx=baf(t,ψ(t))dxdtdt ・・・・・・(5)

ここで, x=t であるから

dxdt=1 ・・・・・・(6)

となる.(6)を(5)に代入すると

C1f(x,y)dx=baf(t,ψ(t))dt ・・・・・・(7)

[2] C2f(x,y)dx

経路 C2 において, x は常に x=b である.

よって, y=t とおいて, C2 を変数 t および定数 b を用いて表すと

{(b,t);t[ψ(b),ϕ(b)]} ・・・・・・(8)

[1]と同様に積分変数がt定積分置換すると

C1f(x,y)dx=ϕ(x)ψ(x)f(b,t)dxdtdt ・・・・・・(9)

となる. x=b と一定であるから,

dxdt=0 ・・・・・・(10)

となる.よって,(9)は

C2f(x,y)dx=ϕ(x)ψ(x)f(b,t)dxdtdt=0 ・・・・・・(11)

となる.

[3] C3f(x,y)dx

[1]と同様に x=t とおいて C3 を変数 t を用いて表すと

{(t,ϕ(t));t[a,b]} ・・・・・・(12)

となる.

この曲線上において tb から a に変化させると,経路 C3に沿って点(t,ϕ(t)) は点 E から点 H に移動することから, 線積分 C3f(x,y)dx を積分変数がt定積分置換すると

C3f(x,y)dx=abf(t,ϕ(t))dxdtdt=baf(t,ϕ(t))dxdtdt ・・・・・・(13)

となる. x=t であるから

dxdt=1 ・・・・・・(14)

となる.(14)を(13)に代入すると

C3f(x,y)dx=baf(t,ϕ(t))dt ・・・・・・(15)

となる.

[4] C4f(x,y)dx

経路 C4 において, x は常に x=a である.

よって,[2]と同様に

dxdt=0 ・・・・・・(16)

となる.よって,(14)は

C4f(x,y)dx=0 ・・・・・・(17)

となる.

[1],[2],[3],[4]より

Cf(x,y)dx

=C1f(x,y)dx+C2f(x,y)dx+C3f(x,y)dx+C4f(x,y)dx

=baf(t,ψ(t))dt+0baf(t,ϕ(t))dt+0

=baf(t,ψ(t))dtbaf(t,ϕ(t))dt

=[baf(t,ϕ(t))dtbaf(t,ψ(t))dt] ・・・・・・(18)

累次積分と線積分による解をまとめると

累次積分による解((2)を再掲載)

Dfy(x,y)dxdy=baf(x,ϕ(x))dxbaf(x,ψ(x))dx ・・・・・・(19)

線積分による解((16)を再掲載)

Cf(x,y)dx=[baf(t,ϕ(t))dtbaf(t,ψ(t))dt] ・・・・・・(20)

(20)に(19)を代入すると

Cf(x,y)dx=Dfy(x,y)dxdy

Dfy(x,y)dxdy=Cf(x,y)dx ・・・・・・(21)

が得られる.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日:2024年10月7日

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