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累 乗

a をn 回かけたものをa  のn 乗といい，${\displaystyle a^n}$  と表す．

式で書くと

${\displaystyle \underset{n\text{回}}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a\times a}}=a^n}$

(n ：正の整数)

となる． 

${\displaystyle a^n}$  の形をした数または式をa の累乗（るいじょう）といい，a を底，n を指数という．

a の累乗には以下に示す指数法則が成り立つ．

 

■指数法則の具体的な計算例

• ${\displaystyle a^m·a^n=a^{m+n}}$ の具体的計算例

  ${\displaystyle 3^2\times 3^3=\left(3\times 3\right)\times \left(3\times 3\times 3\right)}$

  ${\displaystyle =3^{2+3}}$

  ${\displaystyle =3^5}$

  3を5回かけたことになる （${\displaystyle 2+3=5}$ ）

  ${\displaystyle 5^3\times 5^5}$${\displaystyle =\left(5\times 5\times 5\right)\times \left(5\times 5\times 5\times 5\times 5\right)}$

  ${\displaystyle =5^{3+5}}$

  ${\displaystyle =5^8}$

  5を8回かけたことになる（${\displaystyle 3+5=8}$ ）

• ${\displaystyle {\left(a^m\right)}^n=a^{mn}}$  の具体的計算例

  ${\displaystyle {\left(2^3\right)}^2=\left(2^3\right)\times \left(2^3\right)}$

  ${\displaystyle =\left(2\times 2\times 2\right)\times \left(2\times 2\times 2\right)}$

  ${\displaystyle =2^{3\times 2}}$

  ${\displaystyle =2^6}$

  2を6回かけたことになる（${\displaystyle 3\times 2=6}$ ） 

  ${\displaystyle {\left(7^4\right)}^3=\left(7\times 7\times 7\times 7\right)}$${\displaystyle \times \left(7\times 7\times 7\times 7\right)}$${\displaystyle \times \left(7\times 7\times 7\times 7\right)}$

  ${\displaystyle =7^{4\times 3}}$

  ${\displaystyle =7^{12}}$

  7を12回かけたことになる（${\displaystyle 4\times 3=12}$ ） 

•  ${\displaystyle {\left(ab\right)}^m=a^m{b}^m}$ の具体的計算例

  ${\displaystyle {\left(2\times 3\right)}^4}$${\displaystyle =\left(2\times 3\right)\times \left(2\times 3\right)\times \left(2\times 3\right)\times \left(2\times 3\right)}$

  ${\displaystyle =\left(2\times 2\times 2\times 2\right)\times \left(3\times 3\times 3\times 3\right)}$

  ${\displaystyle =2^4\times 3^4}$

  2を4回，3を4回かけたことになる

  ${\displaystyle {\left(5\times 7\right)}^3=\left(5\times 7\right)\times \left(5\times 7\right)\times \left(5\times 7\right)}$

  ${\displaystyle =\left(5\times 5\times 5\right)\times \left(7\times 7\times 7\right)}$

  ${\displaystyle =5^3\times 7^3}$

  5を3回，7を3回かけたことになる

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

ホーム>>カテゴリー別分類>>指数/対数>>累乗

最終更新日： 2023年7月28日

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