外積 

■外積の定義

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の外積の定義を以下に示す（右図を参照のこと）．

• ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の外積は${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}$ と表わす．
• ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}$ はベクトルである．
• ベクトルの大きさ${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}$ は

  ${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\sin \theta }$

  である．ただし，$\theta$ は${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ のなす角である．言い換えると，ベクトルの大きさ ${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}$ は ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を2辺とする平行四辺形OADBの面積にとなる．
• ベクトルの向きは， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ に垂直で， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の始点を重ね ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を180°より小さい角度で ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ に重ねるために始点を回転の中心として回転させる方向に右ネジを回した時に右ネジが進む方向である．

■外積の成分表示　⇒

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(a_x,a_y,a_z\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(b_x,b_y,b_z\right)}$ のとき

■外積の基本的性質（計算則）

• ${\displaystyle \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}=-\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)}$　交換法則は成り立たない 　 ⇒　解説

• ${\displaystyle \alpha \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)=\left(\alpha \overrightarrow{a}\right)\times \overrightarrow{b}}$${\displaystyle =\overrightarrow{a}\times \left(\alpha \overrightarrow{b}\right)}$　 ⇒　解説

• ${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}$， ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}}$

  分配法則は成り立っている　⇒　解説

• ${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}\right)\overrightarrow{b}-\left(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}\right)\overrightarrow{a}}$，${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)=\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}\right)\overrightarrow{b}-\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}}$

  よって

  ${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}$

  となり，結合法則は成り立たない　⇒　解説

■基本ベクトルの外積　⇒

${\displaystyle \begin{array}{c}•\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\\ •\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1}\\ •\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2}\end{array}}$  ${\displaystyle \begin{array}{c}•\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\\ •\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1}\\ •\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2}\end{array}}$  ${\displaystyle \begin{array}{l}•\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{0}\\ •\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{0}\\ •\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{0}\end{array}}$

 

■外積の計算の仕方　⇒

■行列式を用いた外積の計算　⇒

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(a_x,a_y,a_z\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(b_x,b_y,b_z\right)}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{a}\text{×}\overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|}$

 

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最終更新日 2024年8月3日