平面ベクトルの場合
a → =( a 1 , a 2 ) , b → =( b 1 , b 2 ) とすると
a → ⋅ b → = a → b → cosθ = a 1 b 1 + a 2 b 2
となる.
a → = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b → = ( b 1 , b 2 , b 3 ) とすると
a → ⋅ b → = a → b → cosθ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
となる
△OABの余弦定理より
AB 2 = OA 2 + OB 2 −2⋅OA⋅OB⋅cosθ
AB= AB → = AO → + OB → = − OA → + OB → = − a → + b → ， OA= a → ， OB= b → と書きかえることができる（ベクトルの大きさを参照）．よって
− a → + b → 2 = a → 2 + b → 2 −2 a → b → cosθ
これを a → b → cosθ について解く
a → b → cosθ = 1 2 a → 2 + b → 2 − − a → + b → 2
ベクトルの大きさより
a → = a 1 2 + a 2 2 ， b → = b 1 2 + b 2 2
− a → + b → =− a 1 , a 2 + b 1 , b 2 = b 1 − a 1 , b 2 − a 2 より
− a → + b → = b 1 − a 1 2 + b 2 − a 2 2
= 1 2 a 1 2 + a 2 2 + b 1 2 + b 2 2 − b 1 − a 1 2 + b 2 − a 2 2
= 1 2 2 a 1 b 1 +2 a 2 b 2
= a 1 b 1 + a 2 b 2
a → = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ， b → = b 1 2 + b 2 2 + b 3 2
− a → + b → =− a 1 , a 2 , a 3 + b 1 , b 2 , b 3 = b 1 − a 1 , b 2 − a 2 , b 3 − a 3 より
− a → + b → = b 1 − a 1 2 + b 2 − a 2 2 + b 3 − a 3 2
= 1 2 a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 − b 1 − a 1 2 + b 2 − a 2 2 + b 3 − a 3 2
= 1 2 2 a 1 b 1 +2 a 2 b 2 +2 a 3 b 3
= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
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最終更新日 2024年11月20日
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