内積の成分表示 (余弦定理を用いた導出)

平面ベクトルの場合

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2})$ , $\vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ とすると

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos θ$ $= a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

となる.
空間ベクトル場合
$\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ , $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ とすると

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos θ$ $= a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

となる

■導出計算

●平面ベクトル場合

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△ $OAB$ の余弦定理より

${AB}^{2} = {OA}^{2} + {OB}^{2} - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos θ$

$AB = |\vec{AB}| = |\vec{AO} + \vec{OB}|$ $= |- \vec{OA} + \vec{OB}|$ $= |- \vec{a} + \vec{b}|$ ， $OA = |\vec{a}|$ ， $OB = |\vec{b}|$ と書きかえることができる（ベクトルの大きさを参照）．よって

${|- \vec{a} + \vec{b}|}^{2}$ $= {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos θ$

これを $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos θ$ について解く

$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos θ$ $= \frac{1}{2} ({|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - {|- \vec{a} + \vec{b}|}^{2})$

ベクトルの大きさより

$|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}$

$- \vec{a} + \vec{b}$ $= - (a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2})$ $= (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2})$ より

$|- \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2}}$

$= \frac{1}{2} [(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) + (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) - \{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2}\}]$

$= \frac{1}{2} (2 a_{1} b_{1} + 2 a_{2} b_{2})$

$= a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

●空間ベクトルの場合

△ $OAB$ の余弦定理より

${AB}^{2} = {OA}^{2} + {OB}^{2} - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos θ$

${|- \vec{a} + \vec{b}|}^{2}$ $= {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos θ$

これを $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos θ$ について解く

$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos θ$ $= \frac{1}{2} ({|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - {|- \vec{a} + \vec{b}|}^{2})$

ベクトルの大きさより

$|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}$

$- \vec{a} + \vec{b}$ $= - (a_{1}, a_{2}, a_{3}) + (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ $= (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, b_{3} - a_{3})$ より

$|- \vec{a} + \vec{b}|$ $= \sqrt{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2} + {(b_{3} - a_{3})}^{2}}$

$= \frac{1}{2} [(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) + (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}) - \{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2} + {(b_{3} - a_{3})}^{2}\}]$

$= \frac{1}{2} (2 a_{1} b_{1} + 2 a_{2} b_{2} + 2 a_{3} b_{3})$

$= a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

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最終更新日 2025年2月21日