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内積成分表示 (余弦定理を用いた導出)

  • 平面ベクトルの場合

    a=(a1,a2) , b=(b1,b2) とすると

    ab=abcosθ =a1b1+a2b2

    となる.

  • 空間ベクトル場合

    a=(a1,a2,a3) , b=(b1,b2,b3) とすると

    ab=abcosθ =a1b1+a2b2+a3b3

    となる

■導出計算

●平面ベクトル場合

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OAB余弦定理より

AB2=OA2+OB22OAOBcosθ

AB=AB=AO+OB =OA+OB =a+bOA=aOB=b と書きかえることができる(ベクトルの大きさを参照).よって

a+b2 =a2+b22abcosθ

これを abcosθ について解く

abcosθ =12a2+b2a+b2

ベクトルの大きさより

a=a12+a22b=b12+b22

a+b =a1,a2+b1,b2 =b1a1,b2a2 より

a+b=b1a12+b2a22

=12a12+a22+b12+b22b1a12+b2a22

=122a1b1+2a2b2

=a1b1+a2b2

●空間ベクトルの場合

OAB余弦定理より

AB2=OA2+OB22OAOBcosθ

AB=AB=AO+OB =OA+OB =a+bOA=aOB=b と書きかえることができる(ベクトルの大きさを参照).よって

a+b2 =a2+b22abcosθ

これを abcosθ について解く

abcosθ =12a2+b2a+b2

ベクトルの大きさより

a=a12+a22+a32b=b12+b22+b32

a+b =a1,a2,a3+b1,b2,b3 =b1a1,b2a2,b3a3 より

a+b =b1a12+b2a22+b3a32

=12a12+a22+a32+b12+b22+b32b1a12+b2a22+b3a32

=122a1b1+2a2b2+2a3b3

=a1b1+a2b2+a3b3

 

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最終更新日 2025年2月21日

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