■導出計算
●平面ベクトル場合
△
OAB
の余弦定理より
AB2=OA2+OB2−2⋅OA⋅OB⋅cosθ
AB=∣∣∣−−→AB∣∣∣=∣∣∣−−→AO+−−→OB∣∣∣
=∣∣∣−−−→OA+−−→OB∣∣∣
=∣∣∣−→a+→b∣∣∣
,
OA=∣∣→a∣∣
,
OB=∣∣∣→b∣∣∣
と書きかえることができる(ベクトルの大きさを参照).よって
∣∣∣−→a+→b∣∣∣2
=∣∣→a∣∣2+∣∣∣→b∣∣∣2−2∣∣→a∣∣∣∣∣→b∣∣∣cosθ
これを
∣∣→a∣∣∣∣∣→b∣∣∣cosθ
について解く
∣∣→a∣∣∣∣∣→b∣∣∣cosθ
=12(∣∣→a∣∣2+∣∣∣→b∣∣∣2−∣∣∣−→a+→b∣∣∣2)
=12[(a12+a22)+(b12+b22)−{(b1−a1)2+(b2−a2)2}]
=12(2a1b1+2a2b2)
=a1b1+a2b2
●空間ベクトルの場合
△
OAB
の余弦定理より
AB2=OA2+OB2−2⋅OA⋅OB⋅cosθ
AB=∣∣∣−−→AB∣∣∣=∣∣∣−−→AO+−−→OB∣∣∣
=∣∣∣−−−→OA+−−→OB∣∣∣
=∣∣∣−→a+→b∣∣∣
,
OA=∣∣→a∣∣
,
OB=∣∣∣→b∣∣∣
と書きかえることができる(ベクトルの大きさを参照).よって
∣∣∣−→a+→b∣∣∣2
=∣∣→a∣∣2+∣∣∣→b∣∣∣2−2∣∣→a∣∣∣∣∣→b∣∣∣cosθ
これを
∣∣→a∣∣∣∣∣→b∣∣∣cosθ
について解く
∣∣→a∣∣∣∣∣→b∣∣∣cosθ
=12(∣∣→a∣∣2+∣∣∣→b∣∣∣2−∣∣∣−→a+→b∣∣∣2)
=12[(a12+a22+a32)+(b12+b22+b32)−{(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2}]
=12(2a1b1+2a2b2+2a3b3)
=a1b1+a2b2+a3b3