平面と直線の方程式に関する問題

1. 直線の方程式に関する問題
   1. 空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}}$ ${\displaystyle (1,2,1)}$ を通り，ベクトル ${\displaystyle (2,1,1)}$ に平行な直線の方程式を求めよ．　⇒解答
   2. 空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}}$ ${\displaystyle (2,3,1)}$ を通り，ベクトル ${\displaystyle (3,2,2)}$ に平行な直線の方程式を求めよ．　⇒解答
   3. 空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}}$ ${\displaystyle (1,1,1)}$ を通り，ベクトル ${\displaystyle (1,-2,3)}$ に平行な直線の方程式を求めよ．　⇒解答
   4. 空間上の2点 $\text{A}\left(2,3,1\right)$ ， $\text{B}\left(5,5,3\right)$ を通る直線の方程式を求めよ．　⇒解答
   5. ２つの平面 ${\displaystyle x+y+z=6}$ , ${\displaystyle x-y+5z=4}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．　⇒解答
   6. ２つの平面 ${\displaystyle x-2y=4}$ , ${\displaystyle y-3z=5}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．　⇒解答
   7. ２つの直線 ${\displaystyle y=m_{1}x+n_1}$ と ${\displaystyle y=m_{2}x+n_2}$ （ $m_1$ ， $n_1$ ， $m_2$ ， $n_2$ は定数）が直交するとき， $m_1$ ， $m_2$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ．　⇒解答
2. 平面の方程式に関する問題
   1. 空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}\left(4,3,2\right)}$を通り，ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(2,4,5\right)}$ に垂直な平面の方程式を求めよ．　⇒解答
   2. 空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}}$ ${\displaystyle (1,0,2)}$ を通り，ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(1,3,2\right)}$ に垂直な平面の方程式を求めよ．　⇒解答
   3. 空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}(2,1,2)}$ ， ${\displaystyle \text{B}(1,3,1)}$ ， ${\displaystyle \text{C}(1,-1,2)}$ を通る平面の方程式を求めよ．　⇒解答
   4. 空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}(1,1,-2)}$ , ${\displaystyle \text{B}(1,-1,2)}$ , ${\displaystyle \text{C}(2,2,1)}$ を通る平面の方程式を求めよ．　⇒解答
   5. 空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}(2,3,-4)}$ を通り，z軸に垂直な平面の方程式を求めよ．　⇒解答
   6. 平面 ${\displaystyle 2x-2y+z=5}$ に垂直な大きさ1のベクトルを求めよ．　⇒解答
   7. 空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}(2,1,2)}$ , ${\displaystyle \text{B}(1,3,1)}$ , ${\displaystyle \text{C}(1,-1,2)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答
   8. 空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}(-1,-1,0)}$ , ${\displaystyle \text{B}(1,3,4)}$ , ${\displaystyle \text{C}(3,1,4)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答
   9. 空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}(1,2,0)}$ , ${\displaystyle \text{B}(3,0,1)}$ , ${\displaystyle \text{C}(0,1,4) }$ を通る平面の方程式を求めよ．　⇒解答
   10. 空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}(-2,1,3)}$ , ${\displaystyle \text{B}(-3,1,4)}$ , ${\displaystyle \text{C}(-3,3,5)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答
   11. 平面 ${\displaystyle x+2y+4z=21}$ に，原点から垂線を降ろした．その垂線の長さを求めよ．　⇒解答
   12. ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．　⇒解答

       [1] ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

       [2] ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

       [3] ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle a}$ を求めよ．

       [4] ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

       [5] ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

       [6] ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

       [7] ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．

3. 円の方程式に関する問題
   1. 位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=3}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．⇒解答
   2. 位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,-1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．⇒解答
   3. 位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．⇒解答
   4. 点$\text{A}$ ${\displaystyle \left(-2,1\right)}$ ，点$\text{B}$ ${\displaystyle \left(4,3\right)}$，点$\text{P}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ とする．たさし，$x$，$y$は変数である．ベクトル方程式

      ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}\cdot \overrightarrow{\text{BP}}=0}$

      を満たす点$\text{P}$が描く図形を答よ．⇒解答
4. その他
   1. 座標平面において，点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-4,2\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-2,-2\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(4,-1\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(5,6\right)}$ を頂点とする四角形の重心の座標を求めよ． ⇒解答
   2. 点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-1,-1,1\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-1,3,-1\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(1,3,-2\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(3,3,3\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ． ⇒解答
   3. 座標平面において，点$\text{Q}$と点$\text{R}$があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(4,3\right)}$ とする．ベクトル方程式が， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=2s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ，ただし， ${\displaystyle s+t=1}$ のとき，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とすると点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ はどのような曲線(直線を含む)上にあるか答えよ． ⇒解答
   4. 座標平面において，点 $\text{Q}$ と点 $\text{R}$ があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(-1,4\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(2,-1\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とする．

      ${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t=\frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$

      ⇒解答
   5. 座標平面において，点 $\text{Q}$ と点 $\text{R}$ があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1,4\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(3,1\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とする．

      ${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+2t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t\leqq \frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$

      ⇒解答

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最終更新日： 2025年12月1日