完全微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

$2 y d x + (2 x + 1) d y = 0$

$2 x y + y = c$

完全微分方程式 $P d x + Q d y = 0$ の一般解は

$\int_{a}^{x} P (x, y) d x$ $+ \int_{b}^{y} Q (a, y) d y$ $= c$ ･･････(1)

ここで $a$ と $b$ は定数であり， $c$ は任意定数である．

$2 y d x + (2 x + 1) d y = 0$

$P = 2 y$ , $Q = 2 x + 1$ とすると

$P_{y} = 2$ , $Q_{x} = 2$ $∴ P_{y} = Q_{x}$

よってこの微分方程式は完全微分方程式である．

(1)の公式を利用する． $a = 0$ , $b = 0$ として

$\int_{0}^{x} 2 y d x + \int_{0}^{y} (2 \cdot 0 + 1) d y = c$

よって

$2 x y + y = c$

最終更新日： 2023年6月15日