完全微分方程式に関する問題

■問題

積分因子を求めて，次の微分方程式を解け

$x y d x - x (y - x) d y = 0$

$x y - \frac{1}{2} y^{2} = c$

微分方程式 $P d x + Q d y = 0$ について

・ $\frac{P_{y} - Q_{x}}{Q} = φ (x)$ （ $x$ だけの関数）ならば， $λ = e^{\int φ (x) d x}$ は積分因子である．

・ $\frac{P_{y} - Q_{x}}{P} = ψ (y)$ （ $y$ だけの関数）ならば， $λ = e^{- \int ψ (y) d y}$ は積分因子である．

⇒詳しくはこちら

$P = x y$ , $Q = - x (y - x)$ とおくと

$P_{y} = x$ , $Q_{x} = - y + 2 x$

$\frac{P_{y} - Q_{x}}{Q} = \frac{x - (- y + 2 x)}{- x (y - x)}$ $= \frac{y - x}{- x (y - x)}$ $- \frac{1}{x}$ 　･･････(1)

$\frac{P_{y} - Q_{x}}{P} = \frac{x - (- y + 2 x)}{x y}$ $= \frac{y - x}{x y}$ 　･･････(2)

積分因子 $λ$ は(1)より

$λ = e^{\int (- \frac{1}{x}) d x} = e^{- \log |x|} = \frac{1}{x}$ 　･･････(3)

となる．与式の微分方程式の両辺に積分因子 $λ$ をかけると

$y d x - (y - x) d y = 0$ 　･･････(4)

となる．

(4)が完全微分方程式になっているか確認する．

$\frac{\partial}{\partial y} y = 1$ 　･･････(5)

$\frac{\partial}{\partial x} \{- (y - x)\} = 1$ 　･･････(6)

$\int P (x, y) d x$ $+ \int \{Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \int P (x, y) d x\} d y = c$ 　( $c$ ：任意定数)

を用いると

$\int y d x + \int \{- (y - x) - \frac{\partial}{\partial y} \int y d x\} d y = c$

$x y + \int \{x - y - \frac{\partial}{\partial y} x y\} d y = c$

$x y + \int \{x - y - x\} d y = c$

$x y + \int (- y) d y = c$

$x y - \frac{1}{2} y^{2} = c$ 　･･････(7)

となる．(7)は与式の微分方程式の解でもある．

最終更新日： 2023年6月16日