問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle x{y}^{\prime }=\frac{x}{y}\sqrt{x^2+y^2}+y}$

■答

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2-1}}$　　(ただし${\displaystyle C}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle x{y}^{\prime }=\frac{x}{y}\sqrt{x^2+y^2}+y}$

・${\displaystyle x\ne 0}$ の場合

両辺を${\displaystyle x}$  で割ると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}+\frac{y}{x}}$  

＊${\displaystyle x>0}$の時

${\displaystyle x=\sqrt{x^2}}$ より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{x}{y}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2}}+\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}{x^2}}+\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{x}{y}\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}+\frac{y}{x}}$　･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$ とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$

これを${\displaystyle x}$で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$

以上を(1)に代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}\sqrt{1+v^2}+v}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}\sqrt{1+v^2}}$

この式を整理すると

${\displaystyle \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}dv=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

⇒左辺の積分方法はこちら

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}dv}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \sqrt{1+v^2}=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle v}$ を元に戻すと(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$)

${\displaystyle \sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+y^2}{x^2}}=\log \left|x\right|+C}$

両辺に${\displaystyle x}$をかけると

${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=x\left(\log \left|x\right|+C\right)}$　　･････(2)

＊${\displaystyle x<0}$ の時

${\displaystyle x=-\sqrt{x^2}}$ となり，同様に計算すると

${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=x\left(\log \left|x\right|-C\right)}$　　･････(3)

${\displaystyle C}$ は任意定数なので，(2)と(3)は数学的に同等である．

(2)を${\displaystyle y}$ について解くと

${\displaystyle x^2+y^2=x^2{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2}$

${\displaystyle y^2=x^2{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2-x^2}$

${\displaystyle y^2=x^2\left\{{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2-1\right\}}$

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2-1}}$

・${\displaystyle x=0}$ の場合

${\displaystyle x=0}$ を微分方程式に代入すると，${\displaystyle y=0}$となるが，微分方程式の分数部分の分母が${\displaystyle 0}$ になってしますので${\displaystyle y=0}$は除外される.

　

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最終更新日： 2023年6月19日

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