問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle x{y}^{\prime }+\frac{y}{\log x}=4x^2}$

■答

${\displaystyle y=2x^2-\frac{x^2}{\log x}+\frac{C}{\log x}}$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

一般解

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

■解き方

${\displaystyle x{y}^{\prime }+\frac{y}{\log x}=4x^2}$　･････(1)

${\displaystyle \log x}$ と${\displaystyle x}$ は自然対数の真数になっているので，${\displaystyle x>0}$ となる．

(1)式の両辺を${\displaystyle x}$で割ると

${\displaystyle y^{\prime }+\frac{1}{x\log x}=4x}$　･････(2)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int \frac{1}{x\log x}dx}}\left({\displaystyle \int 4x{e}^{{\displaystyle \int \frac{1}{x\log x}dx}}dx}+C\right)}$

⇒ ${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x\log x}dx}}$ の積分方法はこちら

${\displaystyle y=e^{-\log \left|\log x\right|}\left({\displaystyle \int 4x{e}^{\log \left|\log x\right|}dx}+C\right)}$

・${\displaystyle \log x\geqq 0}$ ，すなわち，${\displaystyle x\geqq 1}$ のとき

${\displaystyle y=e^{-\log \left(\log x\right)}\left(\int 4x{e}^{\log \left(\log x\right)}dx+C\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log x}\left(\int 4x\log xdx+C\right)}$

⇒ ${\displaystyle {\displaystyle \int \left(4x\log x\right)dx}}$ の積分法方はこちら

${\displaystyle =\frac{1}{\log x}\left(2x^2\log x-x^2+C\right)}$

${\displaystyle =2x^2-\frac{x^2}{\log x}+\frac{C}{\log x}}$　　　･････(3)

・${\displaystyle \log x<0}$ のとき，すなわち，${\displaystyle x<1}$ のとき

${\displaystyle =\frac{1}{-\log x}\left(\int 4x\left(-\log x\right)dx+C\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log x}\left(2x^2\log x-x^2-C\right)}$

${\displaystyle =2x^2-\frac{x^2}{\log x}-\frac{C}{\log x}}$　　　･････(4)

${\displaystyle C}$ は任意定数なので，(3)と(4)は数学的に同等である．

　

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最終更新日： 2023年6月20日

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