微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

y= cos 4 ( 3x−2 )

■答

y ′ = −12 cos 3 ( 3x−2 )sin( 3x−2 )

■ヒント

合成関数の導関数

{ f( g( x ) ) } ′ = f ′ ( g( x ) )· g ′ ( x )

の式を用いる．

■解説

y= cos⁡ 4 ( 3x−2 )

●別解

y= cos⁡ 4 ( 3x−2 )

を

y= u 4 ， u=cos⁡( 3x−2 )  

とおく．

dy du =4 u 3  

du dx の計算は再び合成関数の微分をする．

u=cos⁡( 3x−2 )

を

u=cos⁡ s  

s=3x−2  

とおく．

du d s =−sin⁡ s

d s dx =3  

よって

du d x = du d s ⋅ d s dx =( −sin⁡ s )⋅3 =−3sin⁡( 3x−2 )  

したがって

dy dx = dy du ⋅ du dx

=4 u 3 { −3sin⁡( 3x−2 ) }  

=−12 { cos⁡( 3x−2 ) } 3 sin⁡( 3x−2 )  

=−12 cos⁡ 3 ( 3x−2 )sin⁡( 3x−2 )  

■備考

上の計算より

dy dx = dy du ⋅ du dx

du dx = du dS ⋅ dS dx  

である．よって 

dy dx = dy du ⋅ du dS ⋅ dS dx  

となる．この式を用いると

y= cos⁡ 4 ( 3x−2 )  

を

y= u 4  

u=cos⁡ s  

s=3x−2  

とおく．

dy du =4 u 3  

du d s =−sin⁡ s  

d s dx =3  

よって

dy du =( 4 u 3 )( −sin⁡ s )⋅3

=4 { cos⁡( 3x−2 ) } 3 { −sin⁡( 3x−2 ) }⋅3  

=−12 cos⁡ 3 ( 3x−2 )sin⁡( 3x−2 )  

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

最終更新日： 2021年3月22日