問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=tan\frac{1}{2x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{1}{2x^2{\cos }^2\frac{1}{2x}}}$

■ヒント

${\displaystyle {\left(tanx\right)}^{\prime }=\frac{1}{{cos}^{2}x}}$　ここを参照

の式を用いる．

■解き方

${\displaystyle y=tan\frac{1}{2x}}$

合成関数の導関数を参照

${\displaystyle u=\frac{1}{2x}}$とおく

${\displaystyle {\displaystyle y=tanu}}$

${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{du}}={\left(\tan u\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle ={\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right)}^{\prime }}$　三角関数の相互関係を参照

${\displaystyle =\frac{{\left(sinu\right)}^{\prime }cosu-sinu{\left(cosu\right)}^{\prime }}{{cos}^{2}u}}$　商の微分を参照

${\displaystyle =\frac{{sin}^{2}u+{cos}^{2}u}{{cos}^{2}u}}$

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^{2}u}}$　三角関数の相互関係を参照

${\displaystyle \frac{du}{dx}={\left(\frac{1}{2x}\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left(x^{-1}\right)}^{\prime }}$　定数倍の微分，指数が負の整数を参照

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-1\cdot x^{-2}\right)}$　べき関数の微分を参照

${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2}}$

よって

${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=\frac{dy}{\mathit{du}}·\frac{\mathit{du}}{dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^{2}u}·\left(-\frac{1}{2x^2}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2{cos}^{2}u}}$

変数を$u$ から$x$ に戻す．

${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2{cos}^2\frac{1}{2x}}}$

●合成関数の微分の公式 ${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$を使う場合

この計算は微分の計算に慣れた方向けである．

${\displaystyle {\left(\tan \frac{1}{2x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2\frac{1}{2x}}\cdot {\left(\frac{1}{2x}\right)}^{\prime }}$${\displaystyle =\frac{1}{{\cos }^2\frac{1}{2x}}\cdot \left(-\frac{1}{2x^2}\right)}$${\displaystyle =-\frac{1}{2x^2{\cos }^2\frac{1}{2x}}}$

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最終更新日： 2024年7月13日

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