微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$y = log (sin x)$ $y = log (sin x)$

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■答

$y^{'} = \cot x$ $y^{'} = \cot x$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

$y = log (sin x)$ $y = log (sin x)$

$log x$ $log x$ の微分の公式を用いる．

$y^{'} = \frac{1}{sin x} \cdot {(sin x)}^{'}$ $y^{'} = \frac{1}{sin x} \cdot {(sin x)}^{'}$ （ $\sin x$ $\sin x$ の微分 ⇒ こちら）

$= \frac{1}{sin x} \cdot cos x$ $= \frac{1}{sin x} \cdot cos x$

$= \frac{cos x}{sin x}$ $= \frac{cos x}{sin x}$

$= \frac{1}{\tan x}$ $= \frac{1}{\tan x}$ $= \cot x$ $= \cot x$

(三角関数の相互関係，三角関数の定義を参照．)

合成関数の導関数において， $y = f (u) = \log u$ $y = f (u) = \log u$ ， $u = g (x) = \sin x$ $u = g (x) = \sin x$ とと考え，公式 ${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ を用いている．）

●公式 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ を用いる場合

$\frac{d y}{d u} = \frac{d}{d u} \log u = \frac{1}{u}$ $\frac{d y}{d u} = \frac{d}{d u} \log u = \frac{1}{u}$ ここを参照

$\frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x} \sin x = \cos x$ $\frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x} \sin x = \cos x$ ここを参照

よって

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{u} \cdot \cos x$ $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{u} \cdot \cos x$ $= \frac{\cos x}{\sin x}$ $= \frac{\cos x}{\sin x}$ $= \frac{1}{\tan x}$ $= \frac{1}{\tan x}$ $= \cot x$ $= \cot x$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月8日

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