問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=log\left(sinx\right)}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{\tan x}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

${\displaystyle y=log\left(sinx\right)}$

${\displaystyle logx}$ の微分の公式を用いる．

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{sinx}·{\left(sinx\right)}^{\prime }}$　（ ${\displaystyle \sin x}$ の微分 ⇒ こちら）

${\displaystyle =\frac{1}{sinx}·cosx}$

${\displaystyle =\frac{cosx}{sinx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\tan x}}$${\displaystyle =\cot x}$

(三角関数の相互関係，三角関数の定義を参照．)

合成関数の導関数において，${\displaystyle y=f\left(u\right)=\log u}$ ，${\displaystyle u=g\left(x\right)=\sin x}$ とと考え，公式${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$を用いている．）

●公式$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}$ を用いる場合

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{d}{du}\log u=\frac{1}{u}}$ 　ここを参照

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x}$ 　ここを参照

よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot \cos x}$ ${\displaystyle =\frac{\cos x}{\sin x}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\tan x}}$ ${\displaystyle =\cot x}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年7月13日

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