問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

合成関数の偏微分

■問題

${\displaystyle z=x^2+y^2,x=t-sint,y=1-cost}$ のとき， ${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle =2t\left(1-\cos t\right)}$

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle x^{\alpha }}$ の微分の公式と ${\displaystyle sinx}$ の微分の公式より

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-cost}$

${\displaystyle cosx}$ の微分の公式より

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=sint}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle z_x=\frac{\partial z}{\partial x}=2x}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分すると

${\displaystyle z_y=\frac{\partial z}{\partial y}=2y}$

以上から

合成関数の偏微分の公式より

${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$${\displaystyle =z_x\frac{dx}{dt}+z_y\frac{dy}{dt}}$

上で求めた式をそれぞれ代入すると,

${\displaystyle =2x\left(1-cost\right)+2y\left(sint\right)}$

${\displaystyle =2x\left(1-cost\right)+2ysint}$

${\displaystyle =2\left(t-\sin t\right)\left(1-\cos t\right)}$${\displaystyle +2\left(1-\cos t\right)\sin t}$

${\displaystyle =2\left(1-\cos t\right)\left(t-\sin t+\sin t\right)}$

${\displaystyle =2t\left(1-\cos t\right)}$

　

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学生スタッフ作成

2023年8月28日

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