2次の偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

$z = sin \sqrt{x y}$

■答

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = - \frac{\sqrt{y}}{4 x \sqrt{x}} cos \sqrt{x y} - \frac{y}{4 x} sin \sqrt{x y}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = - \frac{\sqrt{y}}{4 x \sqrt{x}} cos \sqrt{x y} - \frac{y}{4 x} sin \sqrt{x y}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{4 \sqrt{x y}} cos \sqrt{x y} - \frac{1}{4} sin \sqrt{x y}$

■ヒント

2次偏導関数 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ の4つを求める．

$\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算してから，それぞれを更に $x$ ， $y$ で偏微分する．

■解説

● $\frac{\partial z}{\partial x}$ の計算

$z = \sin \sqrt{x y}$ を偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\sin \sqrt{x y})$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x y}$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial x} {{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial x} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}$

$= \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} cos \sqrt{x y}$ 　･･････(1)

● $\frac{\partial z}{\partial y}$ の計算

$z = \sin \sqrt{x y}$ を偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\sin \sqrt{x y})$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{x y}$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial y} {{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial y} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{1}{2}}$

$= cos \sqrt{x y} \times \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}}$

$= \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} cos \sqrt{x y}$ 　･･････(2)

● $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ $= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x})$

$= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} cos \sqrt{x y})$

$= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}) \times cos \sqrt{x y} + \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} \times \frac{\partial}{\partial x} (cos \sqrt{x y})$

$= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\sqrt{y}}{2} x^{- \frac{1}{2}}) \times cos \sqrt{x y} + \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} \times (- sin \sqrt{x y}) \times \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x y})$

$= - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{y}}{2} \times x^{- \frac{3}{2}} \times cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} sin \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial x} {{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

$= - \frac{\sqrt{y}}{4 x \sqrt{x}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} sin \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial x} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

$= - \frac{\sqrt{y}}{4 x \sqrt{x}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} sin \sqrt{x y} \times \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

$= - \frac{\sqrt{y}}{4 x \sqrt{x}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} sin \sqrt{x y} \times \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}$

$= - \frac{\sqrt{y}}{4 x \sqrt{x}} cos \sqrt{x y} - \frac{y}{4 x} sin \sqrt{x y}$

● $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y})$

$= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} cos \sqrt{x y})$

$= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}}) \times cos \sqrt{x y} + \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} \times \frac{\partial}{\partial y} (cos \sqrt{x y})$

$= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\sqrt{x}}{2} y^{- \frac{1}{2}}) \times cos \sqrt{x y} + \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} \times (- sin \sqrt{x y}) \times \frac{\partial}{\partial y} (\sqrt{x y})$

$= - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{x}}{2} \times y^{- \frac{3}{2}} \times cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} sin \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial y} {{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

$= - \frac{\sqrt{x}}{4 y \sqrt{y}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} sin \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial y} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

$= - \frac{\sqrt{x}}{4 y \sqrt{y}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} sin \sqrt{x y} \times \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

$= - \frac{\sqrt{x}}{4 y \sqrt{y}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} sin \sqrt{x y} \times \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}}$

$= - \frac{\sqrt{x}}{4 y \sqrt{y}} cos \sqrt{x y} - \frac{x}{4 y} sin \sqrt{x y}$

● $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x})$

$= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} cos \sqrt{x y})$

積の微分の公式を用いて,

$= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}}) \times cos \sqrt{x y} + \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} \times \frac{\partial}{\partial y} (cos \sqrt{x y})$

$= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2 \sqrt{x}} y^{\frac{1}{2}}) \times cos \sqrt{x y} + \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} \times (- sin \sqrt{x y}) \times \frac{\partial}{\partial y} (\sqrt{x y})$

$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2 \sqrt{x}} \times y^{- \frac{1}{2}} \times cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} sin \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial y} {{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

$= \frac{1}{4 \sqrt{x y}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} sin \sqrt{x y} \times \frac{\partial}{\partial y} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

$= \frac{1}{4 \sqrt{x y}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} sin \sqrt{x y} \times \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{1}{2}}$

$= \frac{1}{4 \sqrt{x y}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{x}} sin \sqrt{x y} \times \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}}$

$= \frac{1}{4 \sqrt{x y}} cos \sqrt{x y} - \frac{\sqrt{x y}}{4 \sqrt{x y}} sin \sqrt{x y}$

$= \frac{1}{4 \sqrt{x y}} cos \sqrt{x y} - \frac{1}{4} sin \sqrt{x y}$ 　･･････(3)

● $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ $= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y})$

$= \frac{\partial z}{\partial x} (\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} \cos \sqrt{x y})$

$= \frac{\partial z}{\partial x} (\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}}) \times \cos \sqrt{x y} + \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} \times (- \sin \sqrt{x y}) \times \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x y})$

$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2 \sqrt{y}} \times \frac{1}{\sqrt{x}} \times \cos \sqrt{x y} + \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{y}} \times (- \sin \sqrt{x y}) \times \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

$= \frac{1}{4 \sqrt{x y}} \cos \sqrt{x y} - \frac{1}{4} \sin \sqrt{x y}$ 　･･････(4)

(3)，(4)より

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$

となり，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月31日

2次の偏微分

■問題

■答

■ヒント

■解説

● ∂z ∂x の計算

● ∂z ∂y の計算

● ∂ 2 z ∂ x 2 の計算

● ∂ 2 z ∂ y 2 の計算