陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 $y = ϕ (x)$ の極値を調べよ．

$x^{3} - 12 x y + 2 y^{3} = 0$

$x = 4$ のとき，極大値 $4$ をとる.

$f (x, y) = x^{3} - 12 x y + 2 y^{3}$ 　･･････(1)

とおく．

(1)を偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$f_{x} = \frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial x} (x^{3} - 12 x y + 2 y^{3})$ $= 3 x^{2} - 12 y$

よって， $f_{x} (x, y) = 0$ となるのは

$3 x^{2} - 12 y = 0$

$y = \frac{1}{4} x^{2}$ 　･･････(2)

この関係を与式に代入して

$x^{3} - 12 x \cdot \frac{1}{4} x^{2} + 2 \cdot {(\frac{1}{4} x^{2})}^{3} = 0$

$x^{3} - 3 x^{3} + \frac{2}{64} x^{6}$ $= 0$

$- 2 x^{3} + \frac{1}{32} x^{6}$ $= 0$

$64 x^{3} - x^{6} = 0$

$x^{3} (64 - x^{3}) = 0$

${\begin{cases} x^{3} = 0 \\ 64 - x^{3} = 0 \end{cases}$

$x$ $= 0, 4$

故に極値をとる候補は，(2)の関係から

$x = 0$ のとき

$y = \frac{1}{4} \cdot 0^{2} = 0$

$x = 4$ のとき

$y = \frac{1}{4} \cdot 4^{2}$ $= 4$

となり， $(0, 0), (4, 4)$ の2点となる．

次に，上記2点( $y^{'} = 0$ ，言い換えると， $f_{x} (x, y) = 0$ )における $y^{″}$ を求める．この場合

$y^{″} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{f_{x x}}{f_{y}}$ 　･･････(3)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

$f_{x x} = \frac{\partial}{\partial x} f_{x}$ $= \frac{\partial}{\partial x} (3 x^{2} - 12 y)$ $= 6 x$ 　･･････(4)

$f_{y} = \frac{\partial}{\partial y} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial y} (x^{3} - 12 x y + 2 y^{3})$ $= - 12 x + 6 y^{2}$ 　･･････(5)

(4)，(5)を(3)に代入する．

$y^{″} = - \frac{6 x}{- 12 x + 6 y^{2}}$ $= - \frac{x}{- 2 x + y^{2}}$ $= \frac{x}{2 x - y^{2}}$

$(0, 0)$ のとき $y^{″}$ は

$y^{″} = \frac{0}{2 \cdot 0 - 0^{2}} = 0$

よって

$y^{″} = 0$

$(4, 4)$ のとき $y^{″}$ は

$y^{″} = \frac{4}{2 \cdot 4 - 4^{2}}$ $= \frac{4}{8 - 16}$ $= - \frac{4}{8}$ $= - \frac{1}{2}$

よって

$y^{″} < 0$

以上から， $x = 4$ のとき，極大値 $4$ をとる. $(0, 0)$ は特異点である．

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月17日