2次偏導関数の問題

■問題

$z = x f (a x + b y) + y g (a x + b y)$ ならば

$b^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} - 2 a b \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0$

であることを示せ．

■ヒント

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から3番目と5番目を利用し

$\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$

の順に求めていく．

最後に与式の左辺に全て代入する．

■解説

$r (x, y) = a x + b y$ とおく．

$z = x f (r (x, y)) + y g (r (x, y))$

これを $x$ で偏微分（偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分）する．

$\frac{\partial z}{\partial x}$ $= \frac{\partial}{\partial x} {x f (r (x, y)) + y g (r (x, y))}$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から3番目を利用する．

$= \frac{\partial}{\partial x} x \cdot f (r (x, y)) + x \cdot \frac{\partial}{\partial x} f (r (x, y))$ $+ \frac{\partial}{\partial x} y \cdot g (r (x, y)) + y \cdot \frac{\partial}{\partial x} g (r (x, y))$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から5番目を利用する．

$= f (r (x, y)) + x {f^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} r (x, y)}$ $+ 0 + y {g^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} r (x, y)}$

$r (x, y) = a x + b y$ の関係を用いる．

$= f (r (x, y)) + x {f^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (a x + b y)}$ $+ y {g^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (a x + b y)}$

$= f (r (x, y)) + x {f^{'} (r (x, y)) \cdot a}$ $+ y {g^{'} (r (x, y)) \cdot a}$

$= f (r (x, y))$ $+ a x f^{'} (r (x, y)) +$ $a y g^{'} (r (x, y))$

$= a x f^{'} (r (x, y))$ $+ a y g^{'} (r (x, y))$ $+ f (r (x, y))$

これを更に $x$ で偏微分する．

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x})$ $= \frac{\partial}{\partial x} (a x f^{'} (r (x, y)) + a y g^{'} (r (x, y)) + f (r (x, y)))$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から3番目を利用する．

$= {\frac{\partial}{\partial x} a x \cdot f^{'} (r (x, y)) + a x \cdot \frac{\partial}{\partial x} f^{'} (r (x, y))}$ $+ {\frac{\partial}{\partial x} a y \cdot g^{'} (r (x, y)) + a y \cdot \frac{\partial}{\partial x} g^{'} (r (x, y))}$
$+ \frac{\partial}{\partial x} f (r (x, y))$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から5番目を利用する．

$= a f^{'} (r (x, y))$ $+ a x \cdot {f^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} r (x, y)}$ $+ 0$ $+ a y \cdot {g^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} r (x, y)}$
$+ {f^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} r (x, y)}$

$r (x, y) = a x + b y$ の関係を用いる．

$= a f^{'} (r (x, y))$ $+ a x \cdot {f^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (a x + b y)}$ $+ a y \cdot {g^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (a x + b y)}$
$+ f^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (a x + b y)$

$= a f^{'} (r (x, y)) + a x \cdot f^{″} (r (x, y)) \cdot a$ $+ a y \cdot g^{″} (r (x, y)) \cdot a + f^{'} (r (x, y)) \cdot a$

$= a f^{'} (r (x, y)) + a^{2} x f^{″} (r (x, y))$ $+ a^{2} y g^{″} (r (x, y))$ $+ a f^{'} (r (x, y))$

$= a^{2} x f^{″} (r (x, y)) + 2 a f^{'} (r (x, y)) +$ $a^{2} y g^{″} (r (x, y))$

よって

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ $= a^{2} x f^{″} (r (x, y))$ $+ 2 a f^{'} (r (x, y))$ $+ a^{2} y g^{″} (r (x, y))$ 　･･････(1)

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を更に $y$ で偏微分（偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分）する．

$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x})$ $= \frac{\partial}{\partial y} (a x f^{'} (r (x, y)) + a y g^{'} (r (x, y)) + f (r (x, y)))$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から3番目を利用する．

$= {\frac{\partial}{\partial y} a x \cdot f^{'} (r (x, y)) + a x \cdot \frac{\partial}{\partial y} f^{'} (r (x, y))}$ $+ {\frac{\partial}{\partial y} a y \cdot g^{'} (r (x, y)) + a y \cdot \frac{\partial}{\partial y} g^{'} (r (x, y))}$
$+ \frac{\partial}{\partial y} f (r (x, y))$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から5番目を利用する．

$= 0 + a x \cdot {f^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} r (x, y)}$ $+ a \cdot g^{'} (r (x, y))$ $+ a y \cdot {g^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} r (x, y)}$
$+ {f^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} r (x, y)}$

$r (x, y) = a x + b y$ の関係を用いる．

$= a x \cdot {f^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (a x + b y)}$ $+ a g^{'} (r (x, y))$ $+ a y \cdot {g^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (a x + b y)}$
$+ {f^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (a x + b y)}$

$= a x \cdot f^{″} (r (x, y)) \cdot b$ $+ a g^{'} (r (x, y)) + a y \cdot g^{″} (r (x, y)) \cdot b$ $+ f^{'} (r (x, y)) \cdot b$

$= a b x f^{″} (r (x, y)) + b f^{'} (r (x, y))$ $+ a g^{'} (r (x, y)) + a b y g^{″} (r (x, y))$

偏微分の順序交換 $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ が成り立つので

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x})$

$= a b x f^{″} (r (x, y)) + b f^{'} (r (x, y))$ $+ a g^{'} (r (x, y)) + a b y g^{″} (r (x, y))$ 　･･････(2)

次に $z$ を $y$ で偏微分（偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分）する．

$\frac{\partial z}{\partial y}$ $= \frac{\partial}{\partial y} {x f (r (x, y)) + y g (r (x, y))}$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から3番目を利用する．

$= \frac{\partial}{\partial y} x \cdot f (r (x, y)) + x \cdot \frac{\partial}{\partial y} f (r (x, y))$ $+ \frac{\partial}{\partial y} y \cdot g (r (x, y)) + y \cdot \frac{\partial}{\partial y} g (r (x, y))$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から5番目を利用する．

$= 0 + x \cdot {f^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} r (x, y)}$ $+ g (r (x, y))$ $+ y \cdot {g^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} r (x, y)}$

$r (x, y) = a x + b y$ の関係を用いる．

$= x \cdot {f^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (a x + b y)}$ $+ g (r (x, y))$ $+ y \cdot {g^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (a x + b y)}$

$= x \cdot {f^{'} (r (x, y)) \cdot b}$ $+ g (r (x, y)) + y \cdot {g^{'} (r (x, y)) \cdot b}$

$= b x f^{'} (r (x, y)) + g (r (x, y))$ $+ b y g^{'} (r (x, y))$

$= b x f^{'} (r (x, y)) + b y g^{'} (r (x, y))$ $+ g (r (x, y))$

これを更に $y$ で偏微分する．

$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y})$ $= \frac{\partial}{\partial y} (b x f^{'} (r (x, y)) + b y g^{'} (r (x, y)) + g (r (x, y)))$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から3番目を利用する．

$= \frac{\partial}{\partial y} b x \cdot f^{'} (r (x, y)) + b x \cdot \frac{\partial}{\partial y} f^{'} (r (x, y))$ $+ \frac{\partial}{\partial y} b y \cdot g^{'} (r (x, y)) + b y \cdot \frac{\partial}{\partial y} g^{'} (r (x, y))$
$+ \frac{\partial}{\partial y} g (r (x, y))$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から5番目を利用する．

$= 0 + b x \cdot {f^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} r (x, y)}$ $+ b g^{'} (r (x, y)) +$ $b y \cdot {g^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} r (x, y)}$
$+ {g^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} r (x, y)}$

$r (x, y) = a x + b y$ の関係を用いる．

$= b x \cdot {f^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (a x + b y)}$ $+ b g^{'} (r (x, y))$ $+ b y \cdot {g^{″} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (a x + b y)}$
$+ {g^{'} (r (x, y)) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (a x + b y)}$

$= b x \cdot {f^{″} (r (x, y)) \cdot b}$ $+ b g^{'} (r (x, y))$ $+ b y \cdot {g^{″} (r (x, y)) \cdot b}$ $+ {g^{'} (r (x, y)) \cdot b}$

$= b^{2} x f^{″} (r (x, y))$ $+ b g^{'} (r (x, y))$ $+ b^{2} y g^{″} (r (x, y))$ $+ b g^{'} (r (x, y))$

$= b^{2} x f^{″} (r (x, y)) + 2 b g^{'} (r (x, y))$ $+ b^{2} y g^{″} (r (x, y))$

よって

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ $= b^{2} x f^{″} (r (x, y)) + 2 b g^{'} (r (x, y))$ $+ b^{2} y g^{″} (r (x, y))$ 　･･････(3)

与式の左辺に(1)，(2)，(3)を代入する．

$b^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} - 2 a b \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$

$= b^{2} {a^{2} x f^{″} (r (x, y)) + 2 a f^{'} (r (x, y)) + a^{2} y g^{″} (r (x, y))}$
$- 2 a b {a b x f^{″} (r (x, y)) + b f^{'} (r (x, y)) + a g^{'} (r (x, y)) + a b y g^{″} (r (x, y))}$
$+ a^{2} {b^{2} x f^{″} (r (x, y)) + 2 b g^{'} (r (x, y)) + b^{2} y g^{″} (r (x, y))}$

$= a^{2} b^{2} x f^{″} (r (x, y)) + 2 a b^{2} f^{'} (r (x, y)) + a^{2} b^{2} y g^{″} (r (x, y))$
$- 2 a^{2} b^{2} x f^{″} (r (x, y)) - 2 a b^{2} f^{'} (r (x, y)) - 2 a^{2} b g^{'} (r (x, y)) - 2 a^{2} b^{2} y g^{″} (r (x, y))$
$a^{2} b^{2} x f^{″} (r (x, y)) + 2 a^{2} b g^{'} (r (x, y)) + a^{2} b^{2} y g^{″} (r (x, y))$

$= 2 a^{2} b^{2} x f^{″} (r (x, y)) + 2 a b^{2} f^{'} (r (x, y)) + 2 a^{2} b^{2} y g^{″} (r (x, y)) + 2 a^{2} b g^{'} (r (x, y))$
$- 2 a^{2} b^{2} x f^{″} (r (x, y)) - 2 a b^{2} f^{'} (r (x, y)) - 2 a^{2} b g^{'} (r (x, y)) - 2 a^{2} b^{2} y g^{″} (r (x, y))$

$= 0$

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最終更新日： 2023年9月19日