全微分

■問題

次の関数の微小変化 $d x, d y$ に対する全微分を求めよ．

$f (x, y) = \frac{x y}{2 x + y}$

与式を変数 $x, y$ でそれぞれ偏微分し，全微分の定義に当てはめる．

与式を $x$ で偏微分（偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分）する．

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x y}{2 x + y})$

$= \frac{\frac{\partial}{\partial x} x y \cdot (2 x + y) - x y \cdot \frac{\partial}{\partial x} (2 x + y)}{{(2 x + y)}^{2}}$

$= \frac{y \cdot (2 x + y) - x y \cdot 2}{{(2 x + y)}^{2}}$

$= \frac{2 x y + y^{2} - 2 x y}{{(2 x + y)}^{2}}$

$= \frac{y^{2}}{{(2 x + y)}^{2}}$

与式を $y$ で偏微分（偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分）する．

$\frac{\partial}{\partial y} f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x y}{2 x + y})$

$= \frac{\frac{\partial}{\partial y} x y \cdot (2 x + y) - x y \cdot \frac{\partial}{\partial y} (2 x + y)}{{(2 x + y)}^{2}}$

$= \frac{x \cdot (2 x + y) - x y \cdot 1}{{(2 x + y)}^{2}}$

$= \frac{2 x^{2} + x y - x y}{{(2 x + y)}^{2}}$

$= \frac{2 x^{2}}{{(2 x + y)}^{2}}$

以上からこの関数の全微分 $d f (x, y)$ は

$d f (x, y)$ $= \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) d x + \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) d y$

$= \frac{y^{2}}{{(2 x + y)}^{2}} d x + \frac{2 x^{2}}{{(2 x + y)}^{2}} d y$

$= \frac{y^{2} d x + 2 x^{2} d y}{{(2 x + y)}^{2}}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月22日