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ラプラス変換に関する問題
■問題
y″−y′−2y=4t2y′′−y′−2y=4t2
(初期条件：y(0)=1y(0)=1，y′(0)=−1y′(0)=−1)
■答
y=−2t2+2t−3+13e2t+113e−ty=−2t2+2t−3+13e2t+113e−t
■ヒント
ラプラス変換 微分則を用いて解く
■解き方
ラプラス変換すると
yL→Y(s)yL→Y(s)
y′L→sY(s)−y(0)y′L→sY(s)−y(0)
y″L→s2Y(s)−s⋅y(0)−y′(0)y′′L→s2Y(s)−s⋅y(0)−y′(0)
となり，これらを式に代入
s2Y(s)−sy(0)−y′(0)−(sY(s)−y(0))s2Y(s)−sy(0)−y′(0)−(sY(s)−y(0))−2Y(s)−2Y(s)=8s3=8s3
初期条件より
s2Y(s)−s+1−(sY(s)−1)s2Y(s)−s+1−(sY(s)−1)−2Y(s)−2Y(s)=8s3=8s3
(s2−s−2)Y(s)=8s3+s−2(s2−s−2)Y(s)=8s3+s−2
Y(s)=8s3+s−2s2−s−2Y(s)=8s3+s−2s2−s−2
Y(s)=8s3+s−2(s−2)(s+1)Y(s)=8s3+s−2(s−2)(s+1)
Y(s)=8s3(s−2)(s+1)+1s+1Y(s)=8s3(s−2)(s+1)+1s+1
ここで，部分分数分解をする．
Y(s)Y(s)=k1s+k2s2+k3s3+k4s−2+k5s+1=k1s+k2s2+k3s3+k4s−2+k5s+1+1s+1+1s+1
部分分数分解前と後の分子を係数比較すると
{k1+k4+k5=0−k1+k2+k4−2k5=0−2k1−k2+k3=0−2k2−k3=0−2k3=8
k1=−3，k2=2，k3=−4，k4=13，k5=83
よって
Y(s)=−3s+2s2−4s3+13⋅1s−2+83⋅1s+1+1s+1
逆ラプラス変換をする⇒ラプラス変換表はこちら
y=−2t2+2t−3+13e2t+113e−t
■別解
微分方程式で解く
λ2−λ−2=0
より
(λ−2)(λ+1)=0
λ=2,−1
よって一般解はy=C1e2t+C2e−t(同次微分方程式の解法を参照)
(K2t2+K1t+K0)′′ −(K2t2+K1t+K0)′ −2(K2t2+K1t+K0)=4t2
−2K2t2−t(2K2+2K1)+2K2−K1−2K0=4t2
{−2K2=42K2+2K1=02K2-K1−2K0=0
K2=−2,K1=2,K0=−3
よってyp=−2t2+2t−3
以上よりy=−2t2+2t−3+C1e2t+C2e−t(ただし C1,C2 は任意定数)
y′=−4t+2+2C1e2t−C2e−t
初期条件より
y(0)=−3+C1+C2 ……(1)
y′(0)=2+2C1−C2 ……(2)
(1)，(2)より
C1=13,C2=113
よって
y=−2t2+2t−3+13e2t+113e−t
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最終更新日： 2023年6月6日
