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問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて,一般解を求めなさい.

yy2y=4t2

(初期条件:y(0)=1y(0)=1)

■答

y=2t2+2t3+13e2t+113et

■ヒント

ラプラス変換 微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

yLY(s)

yLsY(s)y(0)

yLs2Y(s)sy(0)y(0)

となり,これらを式に代入

s2Y(s)sy(0)y(0)(sY(s)y(0))2Y(s)=8s3

初期条件より

s2Y(s)s+1(sY(s)1)2Y(s)=8s3

(s2s2)Y(s)=8s3+s2

Y(s)=8s3+s2s2s2

Y(s)=8s3+s2(s2)(s+1)

Y(s)=8s3(s2)(s+1)+s2(s2)(s+1)

Y(s)=8s3(s2)(s+1)+1s+1

ここで,部分分数分解をする.

Y(s)=k1s+k2s2+k3s3+k4s2+k5s+1+1s+1

=k1s2(s2)(s+1)+k2s(s2)(s+1)+k3(s2)(s+1)+k4s3(s+1)+k5s3(s2)s3(s2)(s+1)+1s+1

=(k1+k4+k5)s4+(k1+k2+k42k5)s3+(2k1k2+k3)s2+(2k2k3)s2k3s3(s2)(s+1)+1s+1

部分分数分解前と後の分子を係数比較すると

{k1+k4+k5=0k1+k2+k42k5=02k1k2+k3=02k2k3=02k3=8

k1=3k2=2k3=4k4=13k5=83

よって

Y(s)=3s+2s24s3+131s2+831s+1+1s+1

逆ラプラス変換をするラプラス変換表はこちら

y=2t2+2t3+13e2t+113et

■別解

微分方程式で解く

特性方程式

λ2λ2=0

より

(λ2)(λ+1)=0

λ=2,1

よって一般解

y=C1e2t+C2et(同次微分方程式の解法を参照)

次に,未定計数法により特殊解を求める.

(K2t2+K1t+K0) (K2t2+K1t+K0) 2(K2t2+K1t+K0)=4t2

2K2t2t(2K2+2K1)+2K2K12K0=4t2

{2K2=42K2+2K1=02K2-K12K0=0

K2=2,K1=2,K0=3

よって

yp=2t2+2t3

以上より

y=2t2+2t3+C1e2t+C2et(ただし C1,C2 は任意定数)

y=4t+2+2C1e2tC2et

初期条件より

y(0)=3+C1+C2 ……(1)

y(0)=2+2C1C2 ……(2)

(1),(2)より

C1=13,C2=113

よって

y=2t2+2t3+13e2t+113et

 

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最終更新日: 2023年6月6日

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