ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y'' + 3 y' + 2 y = 0$ 　　(初期条件： $y (0) = 1$ ， $y^{'} (0) = 0$ )

$y = 2 e^{- t} - e^{- 2 t}$

ラプラス変換の微分則を用いて解く．

ラプラス変換すると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これを式に代入

$s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$ $+ 3 (s Y (s) - y_{(0)})$ $+ 2 Y (s) = 0$

初期条件より

$s^{2} Y (s) - s + 3 (s Y (s) - 1)$ $+ 2 Y (s) = 0$

$(s^{2} + 3 s + 2) Y (s) = s + 3$

$Y (s)$	$= \frac{s + 3}{s^{2} + 3 s + 2}$
	$= \frac{s + 3}{(s + 2) (s + 1)}$

ここで，部分分数分解をする．

$Y (s) = \frac{k_{1}}{s + 2} + \frac{k_{2}}{s + 1}$

$k_{1} = \lim_{s \to - 2} (s + 2) \frac{s + 3}{(s + 2) (s + 1)} = - 1$

$k_{2} = \lim_{s \to - 1} (s + 1) \frac{s + 3}{(s + 2) (s + 1)} = 2$

よって

$Y (s) = - \frac{1}{s + 2} + \frac{2}{s + 1}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$y = 2 e^{- t} - e^{- 2 t}$

$λ^{2} + 3 λ + 2 = 0$

より

$λ = - 1, - 2$

よって一般解は

$y = C_{1} e^{- t} + C_{2} e^{- 2 t}$

$y^{'} = - C_{1} e^{- t} - 2 C_{2} e^{- 2 t}$

初期条件より

$y = C_{1} + C_{2} = 1$ 　･･････(1)

$y^{'} = - C_{1} - 2 C_{2} = 0$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = 2, C_{2} = - 1$

よって

$y = 2 e^{- t} - e^{- 2 t}$

最終更新日： 2023年6月6日