問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }+y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=0}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=2}$)

■答

${\displaystyle y=2t{e}^{-t}}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く．

■解き方

ラプラス変換すると

${\displaystyle y\stackrel{\mathcal{L}}{\to }Y\left(s\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }\stackrel{\mathcal{L}}{\to }sY\left(s\right)-y\left(0\right)}$

${\displaystyle y^{″}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{s}^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$

となり，これらを式に代入

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-sy\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)+2\left(sY\left(s\right)-y\left(0\right)\right)}$${\displaystyle +Y\left(s\right)}$${\displaystyle =0}$

初期条件より

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-2+2sY\left(s\right)+Y\left(s\right)=0}$

${\displaystyle \left(s^2+2s+1\right)Y\left(s\right)=2}$

${\displaystyle Y\left(s\right)}$${\displaystyle =\frac{2}{s^2+2s+1}}$

${\displaystyle =\frac{2}{{\left(s+1\right)}^2}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

${\displaystyle y=2t{e}^{-t}}$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2+2\lambda +1=0}$

より

${\displaystyle {\left(\lambda +1\right)}^2=0}$

${\displaystyle \lambda =-1}$

よって一般解は

${\displaystyle y=e^{-t}\left(C_{1}t+C_2\right)}$　　(${\displaystyle C_1,C_2}$は任意定数)

${\displaystyle y^{\prime }=-e^{-t}\left(C_{1}t+C_2\right)+e^{-t}{C}_1}$

初期条件より

${\displaystyle y=C_2=0}$……(1)

${\displaystyle y^{\prime }=-C_2+C_1=2}$ ……(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle C_1=2,C_2=0}$

よって

${\displaystyle y=2t{e}^{-t}}$

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最終更新日： 2023年6月6日

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