ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y^{″} - 5 y^{'} + 6 y = 0$ 　　　(初期条件： $y (0) = 1$ ， $y^{'} (0) = 0$ )

$y = 3 e^{2 t} - 2 e^{3 t}$

ラプラス変換の微分則を用いて解く

ラプラス変換すると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これらを式に代入

$s^{2} Y (s) - s y (0) - y^{'} (0) - 5 (s Y (s) - y (0))$ $+ 6 Y (s)$ $= 0$

初期条件より

$s^{2} Y (s) - s - 5 (s Y (s) - 1) + 6 Y (s) = 0$

$(s^{2} - 5 s + 6) Y (s) = s - 5$

$Y (s) = \frac{s - 5}{(s - 2) (s - 3)}$

ここで，部分分数分解をする．

$Y (s) = \frac{k_{1}}{s - 2} + \frac{k_{2}}{s - 3}$

$k_{1} = \lim_{s \to 2} (s - 2) \frac{s - 5}{(s - 2) (s - 3)} = 3$

$k_{2} = \lim_{s \to 3} (s - 3) \frac{s - 5}{(s - 2) (s - 3)} = - 2$

よって

$Y (s) = \frac{3}{s - 2} - \frac{2}{s - 3}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$y = 3 e^{2 t} - 2 e^{3 t}$

$λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$

より

$(λ - 2) (λ - 3) = 0$

$λ = 2, 3$

よって一般解は

$y = C_{1} e^{2 t} + C_{2} e^{3 t}$ 　　(ただし $C_{1}, C_{2}$ は任意定数)

$y^{'} = 2 C_{1} e^{2 t} + 3 C_{2} e^{3 t}$

初期条件より

$y_{(0)} = C_{1} + C_{2} = 1$ 　･･････(1)

${y^{'}}_{(0)} = 2 C_{1} + 3 C_{2} = 0$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = 3, C_{2} = - 2$

よって

$y = 3 e^{2 t} - 2 e^{3 t}$

最終更新日： 2023年6月6日