ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y^{″} - 5 y^{'} + 4 y = 0$

(初期条件： $y (0) = 0$ ， $y^{'} (0) = - 1$ )

$y = \frac{1}{3} e^{t} - \frac{1}{3} e^{4 t}$

ラプラス変換の微分則を用いて解く

ラプラス変換すると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これらを式に代入

$s^{2} Y (s) - s y (0) - y^{'} (0)$ $- 5 (s Y (s) - y (0))$ $+ 4 Y (s)$ $= 0$

初期条件より

$s^{2} Y (s) + 1 - 5 s Y (s) + 4 Y (s) = 0$

$(s^{2} - 5 s + 4) Y (s) + 1 = 0$

$Y (s) = - \frac{1}{(s - 1) (s - 4)}$

ここで，部分分数分解をする．

$Y (s) = \frac{k_{1}}{(s - 1)} + \frac{k_{2}}{(s - 4)}$

$k_{1} = \lim_{s \to 1} (s - 1) {- \frac{1}{(s - 1) (s - 4)}}$ $= \frac{1}{3}$

$k_{2} = \lim_{s \to 4} (s - 4) {- \frac{1}{(s - 1) (s - 4)}}$ $= - \frac{1}{3}$

よって

$Y (s) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(s - 1)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(s - 4)}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$y = \frac{1}{3} e^{t} - \frac{1}{3} e^{4 t}$

$λ^{2} - 5 λ + 4 = 0$

より

$(λ - 1) (λ - 4) = 0$

$λ = 1, 4$

よって一般解は

$y = C_{1} e^{t} + C_{2} e^{4 t}$ 　(ただし $C_{1}, C_{2}$ は任意定数)

$y^{'} = C_{1} e^{t} + 4 C_{2} e^{4 t}$

初期条件より

$y (0) = C_{1} + C_{2}$ 　･･････(1)

$y^{'} (0) = C_{1} + 4 C_{2}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = \frac{1}{3}, C_{2} = - \frac{1}{3}$

よって

$y = \frac{1}{3} e^{t} - \frac{1}{3} e^{4 t}$

最終更新日： 2023年6月6日