ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y^{″} + 2 y^{'} = 0$

(初期条件： $y (0) = 1$ ， $y^{'} (0) = - 2$ )

$y = e^{- 2 t}$

ラプラス変換の微分則を用いて解く

ラプラス変換すると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これらを式に代入

$s^{2} Y (s) - s y (0) - y^{'} (0)$ $+ 2 (s Y (s) - y (0))$ $= 0$

初期条件より

$s^{2} Y (s) - s + 2 + 2 (s Y (s) - 1) = 0$

$(s^{2} + 2 s) Y (s) - s = 0$

$Y (s) = \frac{s}{s (s + 2)} = \frac{1}{s + 2}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$y = e^{- 2 t}$

$λ^{2} + 2 λ = 0$

より

$λ (λ + 2) = 0$

$λ = 0, - 2$

よって一般解は

$y = C_{1} + C_{2} e^{- 2 t}$ 　(ただし $C_{1}, C_{2}$ は任意定数)

$y^{'} = - 2 C_{2} e^{- 2 t}$

初期条件より

$y (0) = C_{1} + C_{2}$ 　･･････(1)

$y^{'} (0) = - 2 C_{2}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = 0, C_{2} = 1$

よって

$y = e^{- 2 t}$

最終更新日： 2023年6月6日