ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y^{″} + y^{'} + y = 0$

(初期条件： $y (0) = 0$ ， $y^{'} (0) = 1$ )

■答

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3} e^{- \frac{1}{2} t} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t$

■ヒント

ラプラス変換　微分則を用いて解く．

■解き方

ラプラス変換すると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これらを式に代入

$s^{2} Y (s) - s y (0) - y^{'} (0) + s Y (s) - y (0)$ $+ Y (s)$ $= 0$

初期条件より

$s^{2} Y (s) - 1 + s Y (s) + Y (s) = 0$

$(s^{2} + s + 1) Y_{(s)} - 1 = 0$

$Y (s) = \frac{1}{(s + \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}) (s + \frac{1 - \sqrt{3} i}{2})}$

ここで，部分分数分解をする．

$Y (s) = \frac{k_{1}}{s + \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}} + \frac{k_{2}}{s + \frac{1 - \sqrt{3} i}{2}}$

$k_{1} = \lim_{s \to - \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}} (s + \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}) \frac{1}{(s + \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}) (s + \frac{1 - \sqrt{3} i}{2})} = \frac{\sqrt{3}}{3} i$

$k_{2} = \lim_{s \to - \frac{1 - \sqrt{3} i}{2}} (s + \frac{1 - \sqrt{3} i}{2}) \frac{1}{(s + \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}) (s + \frac{1 - \sqrt{3} i}{2})} = - \frac{\sqrt{3}}{3} i$

よって

$Y (s) = \frac{\sqrt{3}}{3} i \cdot \frac{1}{s + \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}}$ $- \frac{\sqrt{3}}{3} i \cdot \frac{1}{s + \frac{1 - \sqrt{3} i}{2}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} i (e^{- \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} t} - e^{- \frac{1 - \sqrt{3} i}{2} t})$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} i (e^{- \frac{1}{2} t} \cdot e^{- \frac{\sqrt{3} i}{2} t} - e^{- \frac{1}{2} t} \cdot e^{\frac{\sqrt{3} i}{2} t})$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} i e^{- \frac{1}{2} t} (e^{- \frac{\sqrt{3} i}{2} t} - e^{\frac{\sqrt{3} i}{2} t})$

オイラーの公式より

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} i e^{- \frac{1}{2} t} {\cos \frac{\sqrt{3}}{2} t - i \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t$ $- (\cos \frac{\sqrt{3}}{2} t$ $+ i \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t)}$

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3} e^{- \frac{1}{2} t} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

$λ^{2} + λ + 1 = 0$

より

$(λ + \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}) (λ + \frac{1 - \sqrt{3} i}{2}) = 0$

$λ = - \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}, - \frac{1 - \sqrt{3} i}{2}$

よって一般解は

$y = e^{- \frac{1}{2} t} (C_{1} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} t + C_{2} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t)$ 　　　　　(ただし $C_{1}, C_{2}$ は任意定数)

$y^{'} = - \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2} t} (C_{1} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} t + C_{2} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t)$ $+ e^{- \frac{1}{2} t} (- \frac{\sqrt{3}}{2} C_{1} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t + \frac{\sqrt{3}}{2} C_{2} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} t)$

初期条件より

$y (0) = C_{1}$ 　･･････(1)

$y^{'} (0) = - \frac{1}{2} C_{1} + \frac{\sqrt{3}}{2} C_{2}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = 0, C_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

よって

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3} e^{- \frac{1}{2} t} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t$

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最終更新日： 2023年6月6日