ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y^{″} - y^{'} - 2 y = 4 t^{2}$

(初期条件： $y (0) = 1$ ， $y^{'} (0) = - 1$ )

■答

$y = - 2 t^{2} + 2 t - 3 + \frac{1}{3} e^{2 t} + \frac{11}{3} e^{- t}$

■ヒント

ラプラス変換　微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これらを式に代入

$s^{2} Y (s) - s y (0) - y^{'} (0) - (s Y (s) - y (0))$ $- 2 Y (s)$ $= \frac{8}{s^{3}}$

初期条件より

$s^{2} Y (s) - s + 1 - (s Y (s) - 1)$ $- 2 Y (s)$ $= \frac{8}{s^{3}}$

$(s^{2} - s - 2) Y (s) = \frac{8}{s^{3}} + s - 2$

$Y (s) = \frac{\frac{8}{s^{3}} + s - 2}{s^{2} - s - 2}$

$Y (s) = \frac{\frac{8}{s^{3}} + s - 2}{(s - 2) (s + 1)}$

$Y (s) = \frac{8}{s^{3} (s - 2) (s + 1)} + \frac{s - 2}{(s - 2) (s + 1)}$

$Y (s) = \frac{8}{s^{3} (s - 2) (s + 1)} + \frac{1}{s + 1}$

ここで，部分分数分解をする．

$Y (s)$ $= \frac{k_{1}}{s} + \frac{k_{2}}{s^{2}} + \frac{k_{3}}{s^{3}} + \frac{k_{4}}{s - 2} + \frac{k_{5}}{s + 1}$ $+ \frac{1}{s + 1}$

$= \frac{k_{1} s^{2} (s - 2) (s + 1) + k_{2} s (s - 2) (s + 1) + k_{3} (s - 2) (s + 1) + k_{4} s^{3} (s + 1) + k_{5} s^{3} (s - 2)}{s^{3} (s - 2) (s + 1)} + \frac{1}{s + 1}$

$= \frac{(k_{1} + k_{4} + k_{5}) s^{4} + (- k_{1} + k_{2} + k_{4} - 2 k_{5}) s^{3} + (- 2 k_{1} - k_{2} + k_{3}) s^{2} + (- 2 k_{2} - k_{3}) s - 2 k_{3}}{s^{3} (s - 2) (s + 1)} + \frac{1}{s + 1}$

部分分数分解前と後の分子を係数比較すると

${\begin{array}{l} k_{1} + k_{4} + k_{5} = 0 \\ - k_{1} + k_{2} + k_{4} - 2 k_{5} = 0 \\ - 2 k_{1} - k_{2} + k_{3} = 0 \\ - 2 k_{2} - k_{3} = 0 \\ - 2 k_{3} = 8 \end{array}$

$k_{1} = - 3$ ， $k_{2} = 2$ ， $k_{3} = - 4$ ， $k_{4} = \frac{1}{3}$ ， $k_{5} = \frac{8}{3}$

よって

$Y (s) = - \frac{3}{s} + \frac{2}{s^{2}} - \frac{4}{s^{3}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s - 2}$ $+ \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{s + 1}$ $+ \frac{1}{s + 1}$

逆ラプラス変換をする⇒ラプラス変換表はこちら

$y = - 2 t^{2} + 2 t - 3 + \frac{1}{3} e^{2 t} + \frac{11}{3} e^{- t}$

■別解

微分方程式で解く

特性方程式

$λ^{2} - λ - 2 = 0$

より

$(λ - 2) (λ + 1) = 0$

$λ = 2, - 1$

よって一般解は

$y = C_{1} e^{2 t} + C_{2} e^{- t}$ (同次微分方程式の解法を参照)

次に，未定計数法により特殊解を求める．

${(K_{2} t^{2} + K_{1} t + K_{0})}^{' '}$ $- {(K_{2} t^{2} + K_{1} t + K_{0})}^{'}$ $- 2 (K_{2} t^{2} + K_{1} t + K_{0})$ $= 4 t^{2}$

$- 2 K_{2} t^{2} - t (2 K_{2} + 2 K_{1}) + 2 K_{2} - K_{1}$ $- 2 K_{0}$ $= 4 t^{2}$

${\begin{cases} - 2 K_{2} = 4 \\ 2 K_{2} + 2 K_{1} = 0 \\ 2 K_{2} - K_{1} - 2 K_{0} = 0 \end{cases}$

$K_{2} = - 2, K_{1} = 2, K_{0} = - 3$

よって

$y_{p} = - 2 t^{2} + 2 t - 3$

以上より

$y = - 2 t^{2} + 2 t - 3 + C_{1} e^{2 t} + C_{2} e^{- t}$ (ただし $C_{1}, C_{2}$ は任意定数)

$y^{'} = - 4 t + 2 + 2 C_{1} e^{2 t} - C_{2} e^{- t}$

初期条件より

$y (0) = - 3 + C_{1} + C_{2}$ ……(1)

$y^{'} (0) = 2 + 2 C_{1} - C_{2}$ ……(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = \frac{1}{3}, C_{2} = \frac{11}{3}$

よって

$y = - 2 t^{2} + 2 t - 3 + \frac{1}{3} e^{2 t} + \frac{11}{3} e^{- t}$

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最終更新日： 2023年6月6日