ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y^{″} - 2 y^{'} + y = 0$

(初期条件： $y (0) = 2$ ， $y^{'} (0) = 3$ )

$y = t e^{t} + 2 e^{t}$

ラプラス変換の微分則を用いて解く．

ラプラス変換すると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これらを式に代入

$s^{2} Y (s) - s y (0) - y^{'} (0)$ $- 2 (s Y (s) - y (0))$ $+ Y (s) = 0$

初期条件より

$s^{2} Y (s) - 2 s + 3 - 2 (s Y (s) - 2) + Y (s) = 0$

$(s^{2} - 2 s + 1) Y (s) - 2 s + 1 = 0$

$Y (s) = \frac{2 s - 1}{{(s - 1)}^{2}}$

ここで，部分分数分解をする．

$Y (s) = \frac{k_{1}}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{k_{2}}{s - 1}$

$\frac{k_{1}}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{k_{2}}{s - 1} = \frac{2 s - 1}{{(s - 1)}^{2}}$

$\frac{k_{2} s + k_{1} - k_{2}}{{(s - 1)}^{2}} = \frac{2 s - 1}{{(s - 1)}^{2}}$

分子を係数比較すると

$k_{1} = 1$ ， $k_{2} = 2$

よって

$Y (s) = \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{2}{s - 1}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$y = t e^{t} + 2 e^{t}$

$λ^{2} - 2 λ + 1 = 0$

より

${(λ - 1)}^{2} = 0$

$λ = 1$

よって一般解(ここを参照)は

$y = (C_{1} - C_{2} t) e^{t}$ 　　(ただし $C_{1}, C_{2}$ は任意定数)

$y^{'} = (C_{1} - C_{2} t) e^{t} - C_{2} e^{t}$

初期条件より

$y (0) = C_{1} = 2$ 　･･････(1)

$y^{'} (0) = C_{1} - C_{2} = 3$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = 2, C_{2} = - 1$

よって

$y = t e^{t} + 2 e^{t}$

最終更新日： 2023年6月6日