ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y^{″} - 10 y^{'} + 29 y = 0$

(初期条件： $y (0) = - 1$ ， $y^{'} (0) = 0$ )

■答

$y = e^{5 t} (- \cos 2 t + \frac{5}{2} \sin 2 t)$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換をすると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これらを式に代入

$s^{2} Y (s) - s y (0) - y^{'} (0)$ $- 10 (s Y (s) - y (0))$ $+ 29 Y (s)$ $= 0$

初期条件より

$s^{2} Y (s) + s - 10 (s Y (s) + 1) + 29 Y (s) = 0$

$(s^{2} - 10 s + 29) Y (s) + s - 10 = 0$

$Y (s) = \frac{- s + 10}{s^{2} - 10 s + 29}$

$Y (s) = \frac{- s + 10}{(s - 5 + 2 i) (s - 5 - 2 i)}$

ここで，部分分数分解をする．

$Y (s) = \frac{k_{1}}{s - 5 + 2 i} + \frac{k_{2}}{s - 5 - 2 i}$

$k_{1} = \lim_{s \to 5 - 2 i} (s - 5 + 2 i) \frac{- s + 10}{(s - 5 + 2 i) (s - 5 - 2 i)} = - \frac{2 - 5 i}{4}$

$k_{2} = \lim_{s \to 5 + 2 i} (s - 5 - 2 i) \frac{- s + 10}{(s - 5 + 2 i) (s - 5 - 2 i)} = - \frac{2 + 5 i}{4}$

$Y (s) = - \frac{2 - 5 i}{4} \cdot \frac{1}{s - 5 + 2 i} - \frac{2 + 5 i}{4} \cdot \frac{1}{s - 5 - 2 i}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$y$ $= - \frac{2 - 5 i}{4} e^{(5 - 2 i) t} - \frac{2 + 5 i}{4} e^{(5 + 2 i) t}$

$= - \frac{1}{4} {(2 - 5 i) e^{5 t} \cdot e^{- 2 i t} + (2 + 5 i) e^{5 t} \cdot e^{2 i t}}$

$= - \frac{1}{4} e^{5 t} {(2 - 5 i) e^{- 2 i t} + (2 + 5 i) e^{2 i t}}$

オイラーの公式より

$y$ $= - \frac{1}{4} e^{5 t} {(2 - 5 i) (\cos 2 t - i \sin 2 t)$ $+ (2$ $+ 5 i) (\cos 2 t + i \sin 2 t)}$

$= - \frac{1}{4} e^{5 t} {(2 - 5 i + 2 + 5 i) \cos 2 t$ $+ (- 2$ $+ 5 i$ $+ 2 + 5 i) i \sin 2 t}$

$= - \frac{1}{4} e^{5 t} (4 \cos 2 t - 10 \sin 2 t)$

$= e^{5 t} (- \cos 2 t + \frac{5}{2} \sin 2 t)$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

$λ^{2} - 10 λ + 29 = 0$

より

$λ = 5 \pm 2 i$

よって一般解は

$y = e^{5 t} (C_{1} \cos 2 t + C_{2} \sin 2 t)$ 　　　　(ただし $C_{1} ， C_{2}$ は任意定数)

$y^{'} = 5 e^{5 t} (C_{1} \cos 2 t + C_{2} \sin 2 t)$ $+ e^{5 t} (- 2 C_{1} \sin 2 t$ $+ 2 C_{2} \cos 2 t)$

初期条件より

$y (0) = C_{1}$ 　･･････(1)

$y^{'} (0) = 5 C_{1} + 2 C_{2}$ 　･････(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = - 1, C_{2} = \frac{5}{2}$

よって

$y = e^{5 t} (- \cos 2 t + \frac{5}{2} \sin 2 t)$

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最終更新日： 2023年6月6日